Por qué $(P \wedge ¬P) ⇒ Q$ significa que podemos probar algo?

Question

He estado leyendo un libro portugués de lógica elemental. Da la siguiente definición:

$P(x_1,x_2, \dots) Q(x_1,x_2, \dots)$ si $Q$ es verdadera siempre que $P$ es cierto.

Y establece el siguiente teorema:

$P(x_1,x_2, \dots) Q(x_1,x_2, \dots)$ si $P(x_1,x_2, \dots) Q(x_1,x_2, \dots)$ es tautológico.

Un poco más adelante, comentan la distinción entre $$ and $$ pero creo que, dado el teorema que acabo de escribir, no es necesario hacer más comentarios. En los ejemplos se da:

$$(P \wedge ¬P) Q$$

Y como esta frase es tautológica, entonces:

$$(P \wedge ¬P) Q$$

Y se dice que de esto se puede deducir cualquier cosa. No veo cómo, la última frase significa que podríamos demostrar cualquier cosa. Primero, dice que (siguiendo el teorema):

• Q es verdadera siempre que $(P \wedge ¬P)$ es cierto.

Pero $(P \wedge ¬P)$ nunca es verdad. Sé que esto está relacionado con el principio de no contradicción, pero sabemos que $(P \wedge ¬P)=0$ incluso asumiendo el principio de no contradicción, supongo que todavía puedo escribir $0 Q$ lo que me lleva a $0Q$ . ¿No nos enfrentaríamos al mismo problema que antes?

Answer 1

Recordemos que para la implicación lógica

$$A\implies B$$

es equivalente a

$$\lnot A\lor B$$

y siempre es verdadera cuando la proposición A es falsa.

Answer 2

Esta regla lógica es un conocido e importante principio denominado principio de explosión . A menudo se enuncia como usted lo ha hecho en su pregunta, pero también puede enunciarse más sucintamente como la regla lógica $\boldsymbol{\text{F}} \rightarrow Q$ donde $\boldsymbol{\text{F}} \equiv (P \land \neg P)$ es el proposición falsa et $Q$ es cualquier proposición. La naturaleza tautológica de esta regla lógica puede establecerse fácilmente con tablas de verdad; se sigue del hecho de que las implicaciones lógicas no hacen ninguna afirmación en el caso de que la condición del antecedente sea falsa (es decir, el fallo de la condición del antecedente en un enunciado de implicación hace que el enunciado sea vacuamente verdadero).

El principio de explosión opera en el ámbito de la lógica proposicional y otras lógicas que se basan en ella. Establece que si sostienes que una contradicción lógica es cierta entonces cada proposición se convierte en verdad demostrable, lo que significa además que cada proposición es verdad demostrable y falso (es decir, podemos demostrar que $Q$ y también $\neg Q$ para todas las proposiciones $Q$ ¡)! ¡Caramba! En otras palabras, la lógica proposicional es extremadamente implacable de mantener contradicciones; si tienes una sola contradicción lógica en tu sistema, esto se extiende por todo el sistema y hace que todas las afirmaciones sean demostrables. verdadero y falso ¡dando lugar a contradicciones en cada proposición!

Esta es la razón por la que se armó tanto revuelo cuando Betrand Russell señaló una contradicción en el sistema de axiomas de la lógica de Gottlobb Frege. Ambos matemáticos conocían sin duda el principio de explosión, por lo que ambos comprendieron que esta contradicción aparentemente minúscula en el sistema de axiomas implicaba que las contradicciones podían extenderse por todo el sistema lógico.

Answer 3

De una contradicción se puede deducir cualquier cosa, exactamente porque es imposible que la contradicción sea cierta.

Recuerda que, en general: $\varphi \Rightarrow \psi$ sólo si siempre que $\varphi$ es cierto, $\psi$ también es cierto. Bueno, si $\varphi$ es una contradicción, entonces nunca es verdad, y por lo tanto es automáticamente el caso de que siempre que $\varphi$ es cierto, $\psi$ también es cierto.

Piénsalo así. Debo de ser la persona más afortunada del mundo, porque siempre que he jugado a la lotería, ¡me ha tocado el gordo! Increíble, ¿verdad? Pues resulta que nunca he jugado a la lotería y, por tanto, nunca me ha tocado el Gordo. Pero es cierto que todos cero veces que jugué a la lotería, gané el premio gordo, o: siempre que He jugado a la lotería, ¡me ha tocado el gordo! Por supuesto, también es cierto que siempre que jugué a la lotería, no gané el premio gordo, y que siempre que jugué a la lotería, los cerdos empezaron a volar, y ... claramente puedo decir cualquier cosa aquí.

Por la misma lógica, podemos decir que todas las cero veces que una contradicción es verdadera, algún otro enunciado, cualquiera que sea, también es verdadero: siempre que una contradicción es verdadera, cualquier enunciado es verdadero. Y así, cualquier afirmación se sigue lógicamente de una contradicción.

Una última manera de pensar en esto es: ¿qué haría falta para que alguna declaración $\psi$ no que se desprende de alguna afirmación $\varphi$ ? Es cuando podemos señalar algún escenario posible en el que $\varphi$ es cierto, pero $\psi$ es falso. Bueno, eso es imposible cuando $\varphi$ es una contradicción, es decir, no hay contraejemplo a la afirmación de que $\psi$ se deduce de $\varphi$ si $\varphi$ es una contradicción. Y así, una vez más, cualquier cosa se sigue de una contradicción.