Demostrar que el conjunto polar de un disco unitario es él mismo

Question

Existe un problema similar: Encuentra la Polar de un conjunto. Sin embargo, todavía no tengo ni idea de cuál es la mejor manera de hacerlo.

Conocemos la definición de polar de $C$ : $$ C^{\circ} = \lbrace y \in \mathbb{R}^{n} |\; \langle x,y \rangle \leq 1 \quad \forall x \in C \rbrace $$

Sea $$C = \big\{(x,y)\in \mathbf{R}^2 : \begin{bmatrix} 1+x & y \\ y & 1-x \end{bmatrix} \succeq 0 \big\}$$

Cómo mostrar $C^{\circ} = C$ de forma cerrada?

Answer 1

Sea $C = B_1(0)$ sea el disco unitario en $\mathbb{R}^n$ . Mostremos " $C = C^\circ$ ".

1. $C \subset C^\circ$ . Tienes que mostrar $\langle x,y\rangle \le 1$ para todos $x,y \in C$ . Esto es Cauchy Schwarz.

2. $C \supset C^\circ$ . Sea $y \in C^\circ$ se dará. Entonces, $x := y/\|y\| \in C$ . Utilización de $x \in C$ et $y \in C^\circ$ produce $\|y\| = \langle x,y\rangle \le 1$ . Por lo tanto, $y \in C$ .