Una estrella en forma de conjunto abierto en $\mathbb{R}^n$ es diffeomorphic a $\mathbb{R}^n$

Question

Después de googlear este hecho (que se usa en Bott y Tu para demostrar la existencia de una buena cubre de colectores) he tenido la impresión de que esto es algo difícil de probar. Pero también me he topado con esta tarea problema (problema 0) con una sugerencia: http://www.math.columbia.edu/~tadeo/geometría/hw10.pdf

lo que me da la impresión de que es tal vez no es tan difícil como yo pensaba. Si alguien tiene alguna idea acerca de cómo probar este resultado estaría muy agradecido. Gracias por su tiempo.

Answer 1

Me dio un answar aquí también.

Teorema. Cada abierto de estrellas en forma de establecer $\Omega$ $\mathbb{R}^n$ $C^\infty$- diffeomorphic a $\mathbb{R}^n.$

Prueba. Para la conveniencia de asumir que $\Omega$ es en forma de estrella en $0.$

Deje $F=\mathbb{R}^n\setminus\Omega$ $\phi:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}_+$ (aquí se $\mathbb{R}_+=[0,\infty)$) $C^\infty$- función tal que $F=\phi^{-1}(\{0\}).$ ($\phi$ existe debido a Whitney extensión del teorema)

Ahora nos fijamos $f:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^n$ por la fórmula: $$f(x)=\overbrace{\left[1+\left(\int_0^1\frac{dv}{\phi(vx)}\right)^2||x||^2\right]}^{\lambda(x)}\cdot x=\left[1+\left(\int_0^{||x||}\frac{dt}{\phi(t\frac{x}{||x||})}\right)^2\right]\cdot x.$$ Claramente $f$ es suave en $\Omega.$

Hemos creado $A(x)=\sup\{t>0:t\frac{x}{||x||}\in\Omega\}.$ $f$ envía injectively el segmento (o rayo) $[0,A(x))\frac{x}{||x||}$ a el rayo $\mathbb{R_+}\frac{x}{||x||}.$ Además $f(0\frac{x}{||X||})=0$ y $$\lim_{r\rightarrow A(x)}||f(r\frac{x}{||x||})||=\lim_{r\rightarrow A(x)}\left[1+\left(\int_0^{r}\frac{dt}{\phi\left(t\cdot\frac{rx}{||x||}\cdot||\frac{||x||}{rx}||\right)}\right)^2\right]\cdot r=\\ \left[1+\left(\int_0^{A(x)}\frac{dt}{\phi(t\frac{x}{||x||})}\right)^2\right]\cdot A(x)=+\infty.$$ De hecho, si $A(x)=+\infty,$ entonces se mantiene por razones obvias. Si $A(x)<+\infty,$, a continuación, las definiciones de $\phi$ $A(x)$ tenemos que $\phi(A(x)\frac{x}{||x||})=0.$ por lo tanto, por Decir teorema del valor y el hecho de que $\phi$ $C^1$ $$\phi\left(r\frac{x}{||x||}\right)\leqslant M(A(x)-r)$$ para algunas constantes $M$ y cada una de las $r.$, Como resultado $$\int_0^{A(x)}\frac{dt}{\phi\left(t\frac{x}{||x||}\right)}$$ diverge. Por lo tanto podemos deducir que los $f([0,A(x))\frac{x}{||x||})=\mathbb{R_+}\frac{x}{||x||}$ $f(\Omega)=\mathbb{R}^n.$

Para finalizar la prueba de que tenemos que mostrar que $f$ $C^\infty$- inversa. Pero como corolario del teorema de la función Inversa tenemos que es suficiente para mostrar que el $df$ desaparecen de la nada.

Supongamos que $d_xf(h)=0$ algunos $x\in\Omega$ $h\neq 0.$ a partir De la definición de $f$ obtenemos que $$d_xf(h)=\lambda(x)h+d_x\lambda(h)x.$$ Por lo tanto $h=\mu x$ algunos $\mu\neq 0$ y a partir de ese $x\neq 0.$ $\lambda(x)+d_x\lambda(x)=0.$ Pero tenemos que $\lambda(x)\geqslant 1$ y la función $g(t):=\lambda(tx)$ es creciente, por lo $g'(1)=d_x\lambda(x)>0,$, lo que da una contradicción.$\square$

Answer 2

Deje $U$ ser un subconjunto de a $\mathbb R^n$ que es en forma de estrella con respecto al origen $0\in U$. Deje $f:U\mapsto (0,\infty)$ ser una regularización de la función de distancia, es decir, un $C^\infty$ función tal que $f(x)/\operatorname{dist}(x,\partial U)$ está atrapado entre dos constantes positivas.

Aparte: ¿cómo construir una $U$? Tomar todas máxima diádica cubos $Q_k\subset U$ tal que $\operatorname{dist} (Q_k, \partial U)\ge \operatorname{diam} Q_k $ (aka Whitney descomposición de $U$). Deje $\varphi_k$ ser un suave partición de la unidad asociada a la cubierta de $U$ por las grandes cubos $\frac32Q_k$. A continuación,$f(x)=\sum \operatorname{dist} (Q_k, \partial U)\,\varphi_k(x)$.

Teniendo en cuenta la construcción anterior, es claro que podemos hacer $f$ constante en un barrio de $0$, decir $f=K$ no. Pick $r>0$ lo suficientemente pequeño como para que la esfera se $r\,\mathbb S^{n-1}$ está contenida en este barrio. Para cada vector unitario $\xi\in \mathbb S^{n-1}$, vamos a $\gamma_\xi:\mathbb R\to U$ ser la solución de la ODE $\dot \gamma_\xi=f(\gamma)\,\gamma$ con valor inicial $\gamma_\xi(0)=r\xi$. Observar que $\gamma_\xi(t)=e^{Kt}r \xi$$t\le 0$. Para $t>0$, la integral de la curva va en la dirección $\xi$, pero se ralentiza acercarse a $\partial U$ y nunca sale de $U$. Debe quedar claro que las curvas integrales barrer $U$.

Definir un mapa de $\mathbb R^n$ a $U$ por $$F(\rho\, \xi)= \gamma_\xi( K^{-1}\log \rho ),\quad \rho> 0, \ \xi\in \mathbb S^{n-1} \tag1$$ En la unidad de la bola de $F$ es lineal. Es $C^\infty$ suave todo el mundo. Es un bijection en $U$. El invertibility de su derivada se sigue de la educación a distancia teoremas sobre la dependencia de las soluciones en los valores iniciales, ver Hartman.