Sobre la ecuación diofántica $(x-y)^{xy}=x^y\cdot y^x$

Question

Hace unos días estuve revisando unas viejas ecuaciones diofantinas que resolví hace algún año y encontré la ecuación $$(x-y)^{xy}=x^y\cdot y^x$$ donde $x$ y $y$ son enteros positivos tales que $x>y$ .

He decidido comprobar mi solución y parece que es errónea. Esto es lo que hice: es fácil ver que tanto $x$ y $y$ tienen que igualar. Ahora, fija $d=\gcd(x,y)$ por lo que podemos escribir $x=da$ y $y=db$ para algunos enteros coprimos $a$ y $b$ Además, está claro que $d$ es par. Sustituyendo obtenemos $$d^{xy}(a-b)^{xy}=d^{x+y}a^yb^x.$$

En $x\ge 4$ y $y\ge 2$ tenemos $ab>a+b$ entonces $d^{xy-x-y}\mid a^yb^x$ y de aquí obtenemos que $d\mid a^yb^x$ . Aquí es donde deduje que $d\mid a^y$ o $d\mid b^x$ pero esto no es cierto en general (p. ej. $6\mid 2^3\cdot 3^2$ pero tampoco $6\mid 2^3$ ni $6\mid 3^2$ incluso cuando $\gcd(2,3)=1$ ). El resto de mi solución depende del análisis de los casos $d\mid a^y$ y $d\mid b^x$ por lo que la idea anterior es crucial. Por cierto, la única solución parece ser el par $(x,y)=(4,2)$ .

Creo que mi deducción anterior es errónea (o tal vez es correcta por algunos supuestos adicionales que no puedo ver). Trato de utilizar otros enfoques, pero no voy a ninguna parte, así que ¿cómo se puede resolver la ecuación diofantina anterior? Cualquier idea/pista o solución es bienvenida. Gracias de antemano.

Answer 1

Tienes que $d^{xy-x-y}(a-b)^{xy} = a^yb^x$

Sea $p$ primo tal que $p|(a-b)$ . Entonces $p|a^yb^x$ por lo tanto $p|a$ o $p|b$ . Si $p|b$ entonces $p|(a-b)+b=a$ falso porque $a,b$ son coprimos. Similar para $p|a$ . De ello se deduce que $a-b=1$ y $d^{xy-x-y}=a^yb^x \tag 1$

Ahora dejemos que $p$ primo tal que $p|a$ . A partir de (1) $p^y|d^{xy-x-y}$ obtenemos $\rlap{\textbf{-------------------}} {y=c(xy -x-y)} \tag 2$ para algún número entero positivo $c$ . Pero $xy -x-y \gt y$ para $x \gt 4, y \ge 2$ Por lo tanto $x=4$ y $c=1$ . De (2) obtenemos $y=2$

ACTUALIZACIÓN

Parece que (2) no es del todo correcto. Supongamos que $a=p^ka_1$ donde $p,a_1$ coprimo. De (1) sabemos $p|d$ así que $d=p^cd_1$ donde $p,d_1$ coprimo. Porque $p,b$ coprimo, a partir de (1) tenemos $c(xy-x-y)=ky \tag 3$ No puedo ir más lejos con (3)