Sustituye tu cuerda por una cadena de $N$ segmentos de cuerda (lo que su fuente llama las moléculas, sin embargo eso podría ser engañoso, así que quédese con segmentos de cuerda) con masa $m$ . Cada uno de ellos tiene el peso $F = mg$ . Vamos a etiquetarlos de tal manera que el más bajo (en un sistema de coordenadas donde el vector $\textbf{g}$ apunta hacia abajo) tiene índice $1$ el segundo índice más bajo $2$ etc. En el ejemplo de la cuerda fijada a la rama de un árbol, no hay movimiento en la cuerda, por lo que las fuerzas en todos los segmentos de la cuerda deben equilibrarse entre sí.
Por lo tanto, el fragmento de cuerda más bajo experimenta la fuerza descendente $F_1 = mg$ y la fuerza ascendente $F_{21} = -F_1 = - mg$ (la fuerza sobre el segmento uno debida al segmento dos). Deben ser iguales, de lo contrario el segmento uno experimentaría un movimiento de aceleración, que no forma parte de este modelo. Ahora, el segundo segmento de cuerda experimenta $F_2 = mg + F_{12} = mg - F_{21} = 2mg$ . Esto también debe equilibrarse en $F_{32} = - 2mg$ . Continuando con este proceso, encontramos que el $k$ l segmento experimenta una fuerza descendente $F_{k} = kmg$ que se equilibra con la fuerza ascendente.
Esta fuerza es la tensión, por lo que tenemos el primer resultado $T_k = kmg$ . Ahora, necesitamos utilizar algunos argumentos limitadores para llegar a una descripción continua de la cuerda. Para ello, queremos enviar el número total $N$ de segmentos hasta el infinito manteniendo la masa total $M = Nm$ constante. Eso significa que tenemos que ver $m$ como forma de densidad $m = M/N$ . Todos los segmentos deben estar igualmente espaciados, por lo que podemos expresar $N$ por la longitud $L$ y la separación $\Delta x$ vía $N = L/\Delta x$ . Así que el caso $N \to \infty$ equivale a $\Delta x \to 0$ .
Introducimos una nueva variable $x = k \Delta x$ que describe la longitud del índice $k$ aterriza en la cuerda. Vamos a juntar todo esto, $$T_k = kmg = k \frac{M}{N}g = k \frac{M \Delta x}{L}g = \frac{k\Delta x}{L} Mg,$$ por lo que en el límite $\Delta x \to 0$ con un $x = k\Delta x$ tenemos $$T(x) = \frac{x}{L} Mg.$$
Anexo
Este modelo no tiene en cuenta la dinámica de su sistema. El modelo es puramente una descripción de cómo una fuerza ejercida sobre una cuerda se distribuye sobre la cuerda en forma de una tensión local (un poco más precisamente, en realidad estamos tratando con una densidad de fuerza uniforme aquí). Creo que la principal confusión se debe al tipo de imagen defectuosa que identifica los segmentos del muelle con las moléculas. Es una buena descripción si uno quisiera describir las proteínas, que básicamente pueden modelarse mediante largas cadenas unidimensionales de moléculas. Una cuerda suele ser una cadena tridimensional de moléculas y resulta algo complicado reducir realmente esta descripción a una estructura molecular. Por supuesto, no está mal pensar de esta manera, pero entonces empiezas a preguntarte por el movimiento de estas moléculas y todo eso, que no se tiene en cuenta en este modelo.
La afirmación aquí es simple: Divides una cuerda en múltiples segmentos idénticos, cada uno de los cuales debe ejercer una fuerza sobre su vecino y estar sometido a una fuerza externa y a las fuerzas de sus dos vecinos. Usted no sabe cómo se relacionan estas fuerzas con el estiramiento de la cuerda. Lo único que sabes es peso $F$ en cada segmento, y que la cuerda es unido a algún objeto (rama de árbol) que equilibra las fuerzas y da a la cuerda un resultado longitud $L$ . Eso (y nada más que eso) es dado en su problema modelo. A continuación, basándote en el modelo, calcula cómo se distribuye la fuerza a lo largo de la cuerda, lo que te dará $T(x)$ .
Y ya está. La cuerda puede ser de goma, de acero o de pelo. Eso no importa en tu modelo, siempre y cuando su longitud final sea $L$ y su masa total es $M$ cualquier material da el mismo resultado. El debate sobre la elasticidad requiere un modelo más sofisticado, por ejemplo una cadena de osciladores armónicos. Tales sistemas pueden considerarse cuando se habla de elasticidad lineal.
