No entiendo cómo $B \in \{\mathscr P(A) | A \in \mathscr F\} \equiv \exists A \in \mathscr F(B = \mathscr P(A))$

Question

Aunque he visto y puedo entender una conversión similar en un contexto diferente, no consigo entender cómo funciona este cambio:

$B \in \{\mathscr P(A) | A \in \mathscr F\} \equiv \exists A \in \mathscr F(B = \mathscr P(A))$

En un contexto más simple, puedo ver que

$x \in \{n^2 | n \in \mathbb N\} \equiv \exists n \in \mathbb N(x = n^2)$

Porque lo primero se describiría como "x es miembro del conjunto de todos los n-cuadrados tales que n es miembro del conjunto de los números naturales" mientras que lo segundo sería "Existe un número n en el conjunto de los números naturales para el que x es igual a n-cuadrado". Obviamente, si x es un miembro del conjunto de los números cuadrados, tiene sentido que debe existir un número en el universo del discurso dado que pueda elevarse al cuadrado para obtener x.

Sin embargo, la equivalencia con la que estoy luchando es un obstáculo para mí. Si el conjunto B es un miembro del conjunto de potencias de A en el que A es un miembro de la familia F, no veo cómo se sigue que debe haber un valor del conjunto A para el que B es equivalente al conjunto de potencias de A. Podría haber, pero no veo ninguna razón lógicamente sólida para suponer que hay uno.

Answer 1

El conjunto $\{P(A) \mid A \in \mathscr{F}\}$ es el conjunto de potencias de $A$ donde $A$ recorre todos los conjuntos de la familia $\mathscr{F}$ . Así que si $B$ es un elemento de este conjunto, debe ser el conjunto de potencias de algún $A \in \mathscr{F}$ , no cualquier elemento de uno de esos conjuntos de potencias, es decir, no cualquier subconjunto genérico de algún $A \in \mathscr{F}$ .

Al principio yo también tenía esta última interpretación. Hay una capa adicional de "anidamiento" aquí que es complicado.

Answer 2

El caso es que escribir $$\{\mathscr{P}(A)|A\in\mathscr{F}\}$$ es una forma sucinta de escribir $$\left\{E\in\mathscr{P}\left(\mathscr{P}\left(\bigcup\mathscr{F}\right)\right)\bigg|\exists A\in\mathscr{F},E=\mathscr{P}(A)\right\}.$$ Como bien sabrás, cuando se define un conjunto describiendo las propiedades que tienen sus miembros, es necesario tomar esos miembros en un conjunto (aquí $\mathscr{P}(\mathscr{P}(\mathscr{\bigcup F}))$ era un conjunto de este tipo). En general, siempre se debe escribir algo como $\{x\in X|\phi(x)\}$ . Este último conjunto distingue los elementos de $X$ que tienen la propiedad $\phi(x)$ . Si no tomas los miembros de un conjunto $X$ entonces se puede obtener una contradicción, por ejemplo La paradoja de Russell .

Así que..,

Si el conjunto B es miembro del conjunto de potencias de A en el que A es miembro de la familia F

sería realmente

Si el conjunto $B$ es un miembro de la familia de conjuntos potentes de conjuntos en $\mathscr{F}$

Por lo tanto, la RHS de su equivalencia sólo dice que $B$ es uno de esos juegos de poder.

Answer 3

Podemos partir de tu segundo ejemplo, reescribiéndolo como :

$X=\{x \mid ∃n \in \mathbb N \ (x=n^2) \}$ .

La fórmula dentro del operador constructor de conjuntos $\{ \ \mid \ \}$ puede considerarse como una especie de "procedimiento": siempre que $n$ "abarca" el conjunto $\mathbb N$ obtenemos el resultado de la "ecuación" $x=n^2$ y "echar" el resultado $x$ en el conjunto $X$ .

Del mismo modo, para :

$\mathscr X = \{ B \mid ∃A \in \mathscr F \ (B = \mathscr P(A)) \}$

tenemos un familia de conjuntos : $\mathscr F$ (en lugar de $\mathbb N$ ). Mientras $A$ lo abarca ( $A$ es un conjunto), obtenemos el conjunto de potencias correspondiente $\mathscr P(A)$ (obviamente, existe, porque $A$ es un conjunto; y también $\mathscr P(A)$ es un conjunto) y "echarlo" en la familia $\mathscr X$ de conjuntos de potencias definidos por la fórmula.