negación de una secuencia nula

Question

Tengo que una secuencia $\{a_n\}$ es nulo $\Leftrightarrow \forall \epsilon >0, \exists X$ tal que $$|a_n| < \epsilon \ \forall n > X.$$ Quiero dar una definición cuando una secuencia no es nula, este es mi enfoque, si $P_n(X) = |a_n| < \epsilon \ \forall n > X$ . Entonces, tenemos eso: $$\begin{align*} \{a_n\} \ \mbox{is not null} \ \Leftrightarrow \neg[\forall \epsilon >0, \exists X P_n(X)] \\ \Leftrightarrow \exists \epsilon >0 \ \neg \exists X P_n(X) \\ \Leftrightarrow \exists \epsilon >0 \ \forall X \neg P_n(X) \end{align*}$$ Pero estoy un poco confundido sobre cómo resolver $\neg P_n(X)$ . Mi intento es el siguiente: $$\begin{align*} \neg P_n(X) \Rightarrow \neg[|a_n| < \epsilon \ \forall n > X] \\ \neg P_n(X) \Rightarrow \exists n > X \ \mbox{with}\ |a_n| > \epsilon\\ \end{align*}$$ Así pues, la declaración completa sería $$\exists \epsilon >0 \ \forall X [\exists n > X \ \mbox{with}\ |a_n| > \epsilon]$$

¿Es esto correcto y tiene sentido, gracias.

Answer 1

Sí, su trabajo es correcto. Excepto una cuestión menor: lo contrario de $|a_n| < \epsilon$ es $|a_n| \ge \epsilon$ no $|a_n| > \epsilon$ .

En lugar de escribir $P_n(X)$ como $|a_n| < \epsilon \; \forall n > X$ puede que le resultara más claro escribirlo como $\forall n > X \; |a_n| < \epsilon$ . Entonces toda tu declaración habría sido $$ (\forall\epsilon > 0) \; (\exists X \in \mathbb{N}) \; (\forall n > X) \; : \; |a_n| < \epsilon $$ que es muy fácil de negar, como tú has hecho.

Algunos matemáticos tienen la costumbre de poner el cuantificador ( $\forall n$ ) después de la afirmación en cuestión, por ejemplo podrían decir: "existe $M$ tal que $|a_n| < M$ para todos $n$ ." El problema con estas afirmaciones es que la sintaxis no indica si significan $\exists M \; \forall n \; |a_n| < M$ o $\forall n \; \exists M \; |a_n| < M$ que son dos afirmaciones muy diferentes. Tienes que averiguar dónde está el $\forall n$ pertenece al contexto. En general, creo que es una mala costumbre que debería evitarse.