Son estos subconjuntos de la powerset P(N) contables?

Question

Yo soy sólo un primer semestre de pregrado (de las matemáticas), así que agradecería las respuestas para que no sea demasiado complicado. También el inglés no es mi primera lengua, así que mis explicaciones podría ser un poco.

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Tratando de probar que el Powerset $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ es incontable me encontré con algo que yo no era capaz de entender.

Así, puedo definir el conjunto $$ \mathbb{N}_n=\{\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}:a_i\in \mathbb{N} \; \forall i \text{ y } a_i \neq a_j \; \forall i \neq j\} \text{ para } n \in \mathbb{N} $$ básicamente, el conjunto va como esta $$ \mathbb{N}_0=\{ \emptyset \} \\ \mathbb{N}_1=\{ \{1\},\{2\},\{3\},\ldots \} \\ \mathbb{N}_2=\{ \{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,4\},\ldots \} \\ \vdots $$ y podemos concluir que $$ \text{si } \mathbb{N}_i \cap \mathbb{N}_j = \emptyset \text{ entonces } i \neq j \\ \bigcup\limits_{i \in \mathbb{N} \cup \{0\}} \mathbb{N}_i = \mathcal{P}(\mathbb{N}) $$ Bueno, por lo que hay una contables número de conjuntos de $\mathbb{N}_i$. También el conjunto $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ es incontable. También como se ha mencionado brevemente en el ayer la conferencia (en mi universidad), un countably infinito de la unión de conjuntos contables es una contables conjunto. A partir de esto he llegado a la conclusión de que:

$ \text{existe un } i \in \mathbb{N} \text{ tales que el conjunto } \mathbb{N}_i \text{ es incontable.} $

Ahora, existe la posibilidad de un error que he hecho en una declaración anterior. Pero en el caso de que no lo he hecho, esta última afirmación parece contra intuitivo para mí. También he tratado de demostrar / que desmienten esto, pero fracasó.

Mi pregunta es donde he hecho un error, o si no ¿cómo puedo probar o refutar mi declaración final.

Answer 1

Su conjunto es un conjunto de todos los subconjuntos finitos de $\mathbb N$. Observe que ninguno de los conjuntos contiene un conjunto de todos los números: $$\forall (i\in\mathbb N)\ \{ 2k \mid k\in \mathbb N\} \notin \mathbb N_i$$ o cualquier otro subconjunto infinito de $\mathbb N$.

Answer 2

Es falso que

$$\mathcal P(\mathbb N)=\bigcup_{i\in\mathbb N}\mathbb N_i$$

De hecho, $\bigcup_{i\in\mathbb N}\mathbb N_i$ es precisamente el conjunto de todos los finita subconjuntos de a $\mathbb N$. Pero $\mathcal P(\mathbb N)$ también incluye el infinito subconjuntos, de los cuales hay una cantidad no numerable.

Answer 3

Hay countably muchos subconjuntos finitos de $\Bbb N$. Sin embargo, $\cal P(\Bbb N)$ también contiene infinitos subconjuntos de a$\Bbb N$,$\{2,4,6,\dots\}$, y hay una cantidad no numerable de infinitos subconjuntos de a $\Bbb N$.

$\bigcup_i\Bbb N_i$ es el conjunto de subconjuntos finitos de $\Bbb N$. Para demostrar que es contable, me voy a dar una explícita bijection entre ella y $\Bbb N$: EDIT: Esto es sólo una inyección, no se trata de una bijection, lo siento. $$\{a_1,a_2,a_3,\dots,a_n\}\mapsto2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}\dotsb p_n^{a_n}$$ (Aquí, estoy asumiendo que $\Bbb N$ no contiene $0$ de la conveniencia. También, tenga en cuenta que el conjunto vacío se asigna a $1$.)