Cociente de Rayleigh diferenciado

Question

Para una matriz real no simétrica $A$ diferenciar $\frac{x^{T}Ax}{x^{T}x}$ y por lo tanto encontrar los puntos estacionarios-

Mi intento: derivada = ${x^{T}(A+A^{T}) \over x^{T}x}-{2x^{T}Ax \over (x^{T}x)^2} x^{T}$

He puesto a cero y simplificado un poco pero parece que no puedo conseguir can't más allá.

Sé que los vectores propios son los puntos estacionarios cuando A es simétrico pero no hay respuesta en Google sobre el caso no simétrico.

Answer 1

Si $f_A(x) = x^T Ax$ entonces $Df_A(x)h = x^T(A+A^T) h$ .

Si $d_A(x) = {1 \over f_A(x)}$ entonces $Dd_A(x)h =-{1 \over f_A^2(x)} x^T(A+A^T) h$ .

Si $h(x) = {f_A(x) d_I(x)}$ entonces \begin{align*} Dh(x)h & = \big({d_I(x)}Df_A(x) - f_A(x) D d_I(x)\big)h \\ & = \left({ 1 \over x^T x} x^T(A+A^T) - {2 \over (x^Tx)^2} x^T A x x^T\right)h. \end{align*}

En un punto estacionario distinto de cero $x$ tendremos $$ \left({ 1 \over x^T x} x^T(A+A^T) - {2 \over (x^Tx)^2} x^T A x x^T\right) = 0,$$ ou $$ (A+A^T)x = {2 \over x^T x} x x^T A^T x = {2 \over x^T x} x^T A^T x x, $$ es decir, $x$ es un vector propio de $A+A^T$ correspondiente a un valor propio $$ \lambda = {2 \over x^T x} x^T A^T x = {1 \over x^T x} x^T (A+A^T) x. $$