¿Cómo hallar la dimensión de un espacio vectorial cociente dado?

Question

Necesito demostrar el siguiente resultado de un libro de ejercicios.

$V = \mathbb{Z}_3[x]$ es un espacio vectorial (sobre $\mathbb{Z_3}$ ) de todos los polinomios sobre $\mathbb{Z_3}$ en indeterminado $x$ .

$S = \{x^n + x^{n+2} : n\in \mathbb{N}\cup\{0\}\}$ y $W = \langle S\rangle$ .

Cómo demostrarlo $\dim\left(V/W\right) = 2$ en $\mathbb{Z_3}$ .

Conozco la fórmula para hallar la dimensión de los espacios cocientes. Pero aquí soy totalmente incapaz de demostrarlo. Por favor, ayúdenme a demostrar el resultado. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Pista: Sea $P(x)\in\mathbb{Z}_3[x]$ . Dividir $P(x)$ por $1+x^2$ obtendrás $$P(x)=Q(x)(1+x^2)+a+bx,$$ para algunos $Q(x)\in\mathbb{Z}_3[x]$ y algunos $a,b\in\mathbb{Z}_3$ . Pero $Q(x)(1+x^2)\in W$ .

Answer 2

Cualquier polinomio en $\mathbb{Z}_3[X]$ es equivalente mod $W$ a un polinomio de grado $\leq1$ .

Esto se debe a que un término $aX^k$ donde $k>1$ es equivalente módulo $\left<S\right>$ a $-aX^{k-2}$ lo que equivale a $aX^{k-4}$ y así sucesivamente hasta alcanzar el grado $0$ ou $1$ .

Por lo tanto, las clases de $1$ y $X$ mod $W$ son un conjunto de $V/W$ y la dimensión es como máximo $2$ .

Ahora para demostrar que la dimensión es igual a $2$ tienes que ver por qué $\{1, X\}$ es una familia linealmente independiente en $V/W$ . Esto equivale a $W\cap \operatorname{Span}(\{1, X\})=\{0\}$ y ahora la razón por la que esto es cierto es porque cada elemento distinto de cero de $W$ tiene un grado como mínimo $2$ .

Answer 3

El campo que se $\mathbb{Z}_3$ es irrelevante: el mismo resultado es válido para cualquier campo. El subespacio $W$ contiene $1+x^2, x+x^3$ etc. Modificar por este subespacio hace que todo en $W$ igual $0$ . Por tanto, en el espacio vectorial cociente $x^2 = -1$ , $x^3=-x$ , $x^4=-x^2$ etc. Así que $\{1,x\}$ es una base del espacio cociente.