Algunas curvas definidas por ecuaciones polinómicas están desconectadas sobre los reales pero no sobre los complejos, por ejemplo, $x y - 1 = 0$ . ¿Cómo podemos convencer a alguien que sólo conoce las ecuaciones sobre reales de que la curva dibujada por la ecuación anterior está conectada sobre complejos? ¿Es posible un gráfico o algo así, por ejemplo? Será un gráfico 4d si x e y se expanden a partes reales e imaginarias. ¿Algún otro gráfico o forma algebraica de mostrar la conectividad?
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Ricardo Buring
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Una solución sobre $\mathbb{C}$ es un par $(z, 1/z)$ con $z \neq 0$ . Considere otra solución $(w, 1/w)$ . Hay un camino desde $z$ a $w$ en $\mathbb{C}$ que no cruza $0$ (esta es la diferencia con $\mathbb{R}$ ), y se obtiene una ruta desde $1/z$ a $1/w$ invirtiendo cada punto del camino. De aquí obtenemos un camino desde $(z, 1/z)$ a $(w, 1/w)$ que vive dentro del conjunto de soluciones.
Puede dibujar explícitamente los gráficos correspondientes. Es especialmente fácil en el círculo unitario, donde la inversión es sólo conjugación compleja. Por ejemplo, para pasar de $-1$ a $1$ en $\mathbb{C}$ se puede tomar el semicírculo superior del círculo unitario. El camino "invertido" (invirtiendo cada número complejo en el camino) es exactamente el semicírculo inferior. Esto muestra cómo pasar de $(-1,-1)$ a $(1,1)$ (lo que no era posible sobre los reales) a través del dominio complejo.
Yves Daoust
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Puedes conectar dos puntos complejos cualesquiera $u, v$ con una espiral
$$u^{1-t}v^t$$ donde $t$ va desde $0$ a $1$ .
Más concretamente, en coordenadas polares paramétricas,
$$\begin{cases}\theta=\theta_u(1-t)+\theta_vt,\\\rho=\rho_u^{1-t}\rho_v^t.\end{cases}$$
(Puede eliminar perfectamente $t$ .)
Entonces la curva $(-\theta,\rho^{-1})$ corresponde a los puntos inversos y es una espiral continua similar.
