Dominio fundamental de $\operatorname{GL}(n,\mathbb R)$ actuado por $\operatorname{GL}(n, \mathbb Z)$

Question

¿Qué es una descripción simple de un dominio fundamental de $\operatorname{GL}(n,\mathbb R)$ actuado por $\operatorname{GL}(n,\mathbb Z)$ ?

$\operatorname{GL}(n,\mathbb R)$ es el grupo de todas las matrices reales invertibles con multiplicación de matrices, $\operatorname{GL}(n,\mathbb Z)$ el grupo de todas las matrices con entradas enteras, cuyos inversos también tienen entradas enteras, con multiplicación de matrices. $h \in \operatorname{GL}(n, \mathbb Z) \subset \operatorname{GL}(n,\mathbb R)$ actúa sobre $g \in \operatorname{GL}(n,\mathbb R)$ dejando $h\cdot g := hg$

Observaciones:

Un dominio fundamental $F$ es un subconjunto de $\operatorname{GL}(n,\mathbb R)$ tal que para cualquier $x$ en $\operatorname{GL}(n,\mathbb R)$ hay exactamente una $h$ en $\operatorname{GL}(n, \mathbb Z)$ tal que $hx \in F$ . Busco una descripción lo más limpia posible de algunos $F$ en función de las entradas de la matriz. Es evidente que $\operatorname{GL}(n,\mathbb R)$ puede sustituirse por cualquier conjunto de matrices (posiblemente no invertibles) con $n$ filas (posiblemente con pocas o más de n columnas). El caso con una columna y $n=2$ no es muy diferente de encontrar un dominio fundamental del semiplano superior con respecto a las transformaciones de Möbius. También, $\operatorname{GL}$ podría haberse sustituido por $\operatorname{SL}$ .

Me parece una pregunta muy básica, y si resulta que ignoro algunas herramientas o teoremas útiles, aceptaré indicaciones al respecto. De hecho, esto sería incluso mejor que una respuesta directa a la pregunta específica (ya que tengo muchas preguntas aparentemente básicas relacionadas), siempre y cuando ayude significativamente a responder la pregunta específica.

Answer 1

De acuerdo, estoy trabajando en algunos viejos recuerdos aquí de cómo hacer las cosas, así que tómalo con un grano de sal.

En primer lugar, tendemos a modular por el subgrupo compacto máximo del otro lado (así obtenemos el espacio simétrico). Así que realmente quieres estar trabajando con algo como $\mathbb{SO}(n, \mathbb{R}) \backslash \mathbb{SL(n,\mathbb{R})} / \mathbb{SL}(n,\mathbb{Z})$ . Excepto que hay un factor de escala global de $\mathbb{R}^* / \mathbb{Q}^*$ desde $\mathbb{GL}(\mathbb{Z})$ tiene determinantes racionales, mientras que $\mathbb{GL}(\mathbb{R})$ no lo hace.

En el caso $n=2$ se puede considerar como la rotación y el cambio de escala de un paralelogramo fundamental de la red, de modo que un vector es $\hat{x}$ mientras que el segundo vector se encuentra en un dominio fundamental de $H / \mathbb{SL}(2,\mathbb{Z})$ .

En el caso de $n$ vas a hacer lo mismo, rotar para que el primer vector sea $e_1$ el segundo vector se encuentra en $(e_1, e_2)$ avión, etc. Piense que es una matriz triangular superior con entradas positivas a lo largo de la diagonal y un 1 en la esquina superior izquierda. Además, puedes disponer las cosas de modo que cada vector de fila sea más largo que el que tiene debajo ( $|\vec{v_i}| \geq |\vec{v_j}|, i<j$ ). Ahora, otras restricciones de la $\mathbb{SL}(\mathbb{Z})$ factor: Usted puede fijar $|a_{ij}| \leq |a_{jj}|/2$ o puedes arreglar $|\vec{v_i}| <= |\vec{v_i} + n * \vec{v_j}| \Leftrightarrow \vec{v_i} \cdot \vec{v_j} \leq |\vec{v_j}|^2$ para $i < j$ .

De este modo se soluciona (en parte) la parte triangular superior de $\mathbb{SL}(n, \mathbb{Z})$ así como el $S_n$ subgrupo. El resto es mucho más complicado, concretamente los generadores que actúan como $z \rightarrow -1/z$ en el $\mathbb{SL}(2, \mathbb{Z})$ contexto.