entender el lenguaje de un teorema

Question

El teorema se enuncia de la siguiente manera en el libro:

Sea $\phi:G\rightarrow G'$ b $H=Ker(\phi)$ . Sea $a\in G$ . Entonces el conjunto

$\phi^{-1}[\{\phi(a)\}] = \{x\in G | \phi(x)=\phi(a)\}$

es el coset izquierdo $aH$ de $H$ y es también el coset derecho $Ha$ o $H$ . En consecuencia, las dos particiones de $G$ i cosets derechos de $H$ son los mismos.

Estoy intentando analizar esta afirmación y no me queda claro qué pretende el autor al final cuando dice "En consecuencia, las dos particiones de $G$ en cosets izquierdos y en cosets derechos de $H$ son iguales". Tengo la impresión de que, en general, los cosets izquierdo y derecho no son siempre iguales. ¿En qué condiciones son iguales? ¿Bajo la condición de que tengan un homomorfismo?

Permítanme mencionar que en este punto, se supone que no sabemos lo que es un subgrupo normal. El autor introduce la idea de un subgrupo normal 2 páginas más tarde.

Answer 1

La condición es que $H$ es el núcleo de un homomorfismo de grupo, no un subgrupo cualquiera.

Answer 2

Si $N \subseteq G$ es un subgrupo tal que $gNg^{-1} = N$ para todos $g \in G$ entonces $N$ se denomina normal subgrupo. Véase Wiki en eso. Esto equivale a decir que cualquier coset izquierdo y derecho $gN = Ng$ para cualquier $g \in G$ son los mismos.

Así que la afirmación sólo dice que todo núcleo de un homomorfismo es un subgrupo normal.

Esto es fácil de ver ya que para todos $h \in H = \mathrm{ker} (\phi)$ , $a \in G$ lo consigues: $$\phi (aha^{-1}) = \phi (a) \phi(h) \phi (a^{-1}) = \phi (a) \phi (a^{-1}) = 1,$$ así que $aha^{-1} \in \mathrm{ker}(\phi) = H$ . Por lo tanto $aHa^{-1} \subseteq H$ multiplicando por $a^{-1}$ desde la izquierda y $a$ de la derecha da la otra inclusión para su inversa. Dado que $a$ era arbitraria, la igualdad es la siguiente.

Quizá te confundió la definición de coset: Yo diría $aH$ como $\{ ah \in G;\; h \in H\}$ el conjunto de todos los elementos de la forma $ah$ con $h \in H$ . Similares para $aHa^{-1}$ . Que ambas definiciones dadas son equivalentes, se hace comprobando: $$x \in aH \Leftrightarrow a^{-1}x \in H \Leftrightarrow \phi(a^{-1}x) = 1 \Leftrightarrow \phi(a) = \phi(x).$$

Answer 3

Lo que dice el enunciado es que el núcleo de un homomorfismo es un subgrupo normal.

No sé si esto aclara o no, ya que no conozco el contexto: podría ser que el autor esté intentando utilizar esta idea para introducir la noción de subgrupo normal.