La motivación para adjoint operadores en lo finito dimensional interior-producto-espacios

Question

Dado un número finito de dimensiones interiores-producto-espacio de $(V,\langle\;,\rangle)$ y un endomorfismo $A\in\mathrm{End}(V)$ podemos definir su adjoint $A^*$ como la única endomorfismo tal que $\langle Ax, y\rangle=\langle x, A^*y\rangle $ todos los $x,y\in V$.

Mientras todo esto nos permite probar algunas cosas sobre unitaria, normal y hermitian matrices, me gustaría saber si hay alguna otra motivación detrás de su introducción (hay una interpretación geométrica? Cualquier otro algebraicas comentario?)

Answer 1

Aquí es una expresión algebraica enfoque adjunto operadores. Deje que nos tira lejos de la existencia de un producto interior y en lugar de tomar dos espacios vectoriales $V$$W$. Además, vamos a $V^*$ $W^*$ ser lineal duales de $V$$W$, es decir, la recopilación de los mapas de $V\to k$ $W\to k$ donde $k$ es el campo base. Si estás trabajando sobre $\mathbb R$ o $\mathbb C$, o algún otro topológico de campo, es posible que desee trabajar con el continuo lineal mapas entre los espacios vectoriales topológicos.

Dado un operador lineal $A: V\to W$, podemos definir un doble mapa de $A^*: W^* \to V^*$$(A^*(\phi))(v)=\phi(A(v))$. Es directa para comprobar que esto le da un lugar bien definido lineal mapa entre los espacios vectoriales. Esta doble mapa es el adjunto de a $A$. Para la mayoría de las elecciones sensatas de doble topologías, este mapa también debe ser continua.

La pregunta es, ¿cómo se relaciona esto con lo que están haciendo con interior de productos? Dando un producto interior en $V$ es lo mismo que dar un isomorfismo entre el $V$ $V^*$ como sigue:

Dado un producto interior, $\langle x, y \rangle$, podemos definir un isomorfismo $V\to V^*$ través $x\mapsto \langle x, - \rangle$. Este será un isomorfismo por no degeneración. Del mismo modo, dado un isomorfismo $\phi:V\to V^*$, podemos definir un producto interior por $\langle x,y\rangle =\phi(x)(y)$. El interior "productos" que viene de isomorphisms no, en general, ser simétrica, y por lo tanto están mejor llamadas formas bilineales, pero no necesitamos ocuparnos de esta diferencia.

Así que vamos a $\langle x,y \rangle$ ser un producto interior en $V$, y deje $\varphi$ la correspondiente isomorfismo $\phi:V\to V^*$ definido anteriormente. Luego se le da $A:V\to V$, tenemos un doble mapa de $A^*:V^* \to V^*$. Sin embargo, podemos usar nuestro isomorfismo para definir un doble diferente del mapa (también denotado $A^*$, pero que vamos a denotar por $A^{\dagger}$ para evitar la confusión) por $A^{\dagger}(v)=\phi^{-1}(A^*\phi(v))$. Este es el adjunto que usted está usando.

Veamos por qué. En lo que sigue, $x\in V, f\in V^*$. Tenga en cuenta que$\langle x, \phi^{-1} f \rangle = f(x)$, por lo que tenemos

$$ \langle Ax, \phi^{-1}f \rangle = f(Ax)=(A^*f)(x)=\langle x, \phi^{-1}(A^* f) \rangle $$

Ahora, vamos a $y=\phi^{-1}f$, de modo que $\phi(y)=f$, Entonces podemos reescribir el primer y último términos de la anterior igualdad como

$$\langle Ax, y \rangle = \langle x, \phi^{-1}(A^* \phi(y)) \rangle = \langle x, A^{\dagger}y \rangle $$

Answer 2

Usted debe pensar en la $A^{\ast}$ como "hacia atrás" de la versión de $A$ (que no debe confundirse con su inverso).

Vamos a trabajar en una configuración, es decir, que de conjuntos y relaciones. Recordemos que una relación $R$ de $X$ a un conjunto $Y$ es un subconjunto de a $X \times Y$. Quiero pensar que de una relación como una especie de función de$X$$Y$, pero que las salidas de los subconjuntos en lugar de elementos de $Y$; decimos que el $Rx$ es el conjunto de todos los $y$ tal que $(x, y)$ se encuentra en mi subconjunto.

Más generalmente, si $E$ es un subconjunto de a$X$, $RE$ es el conjunto de todos los $y$ tal que $(x, y)$ se encuentra en mi subconjunto para algunos $x \in E$.

Conjuntos de admitir un "producto interior" toma los valores de $\{ 0, 1 \}$ define de la siguiente manera: si $S, T$ son dos subconjuntos de un conjunto $X$, luego definimos $\langle S, T \rangle = 1$ si $S \cap T$ es no vacío y $\langle S, T \rangle = 0$ lo contrario.

Ahora, yo reclamo que para cualquier relación $R : X \to Y$ hay una relación única $R^{\ast} : Y \to X$ tal que $$\langle RE, F \rangle = \langle E, R^{\ast} F \rangle$$

para todos los subconjuntos de a$E$$X$$F$$Y$. Resulta que $R^{\ast}$ es sólo el subconjunto $\{ (y, x) : (x, y) \in R \}$; el pensamiento de una relación como una matriz con entradas en $\{ 0, 1 \}$ es la transpuesta de la matriz.

El pensamiento de una relación como una colección de flechas de los elementos de la $X$ a los elementos de $Y$, teniendo adjoints de relaciones corresponde a la inversión de la dirección de todas las flechas. Este es a grandes rasgos lo que sucede cuando usted toma el adjunto de un almacén operador lineal entre espacios de Hilbert.