¿Qué significa exactamente que la quíntica irresoluble

Question

Estoy tratando de entender la teoría de Galois y la insolubilidad de la quíntica general (o ecuaciones de grado superior). El teorema fundamental del álgebra afirma que una ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n soluciones. Así que la quíntica tiene 5 soluciones, lo que significa que $x^{5} + a_{4}x^{4} + a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0} = (x-R)(x^{4} + b_{3}x^{3} + b_{2}x^{2} + b_{1}x + b_{0})$ para algún número complejo $R$ . Y entonces una ecuación polinómica de grado 4 es resoluble. Pero la quíntica no es resoluble. Parece que me estoy perdiendo algo aquí.

A veces se leen formulaciones como que no hay radicales en los coeficientes de la ecuación que resuelve la ecuación. Pero ¿qué pasa con los radicales con otros números que los coeficientes?

Answer 1

El teorema de Abell-Ruffini no dice que una ecuación de grado $>4$ es irresoluble, pero que , para tales ecuaciones , no existe en general una fórmula que dé las soluciones en términos de operaciones racionales y radicales.

En tu ejemplo, si se conoce una solución del quíntico, podemos factorizarlo como dices, pero si no se conoce esta solución, no podemos encontrar la factorización con alguna fórmula ( que utilice sólo operaciones racionales y radicales) que funcione para cualquier quíntico.