Utilizar la fórmula de Vieta para hallar la suma de las raíces de una ecuación cúbica dada.

Question

La fórmula de Vieta establece que, si una ecuación cúbica tiene tres raíces diferentes, se cumple lo siguiente:

$$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + x_3 &=& -b/a\\ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 &=& c/a \\ x_1x_2x_3 &=& -d/a \end{eqnarray*}$$

Entonces, ¿cómo se calcula lo siguiente?

$x_1^3$ + $x_3^3$ + $x_2^3$

Answer 1

Usa eso $$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3ab(a+b)+3ac(a+c)+3bc(b+c)+6abc$$ $$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$$

Answer 2

Si $\alpha, \beta, \gamma$ son las raíces de $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d=0$ entonces $$p(\alpha)=p(\beta)=p(\gamma)=p(\alpha)+p(\beta)+p(\gamma)=0$$

Ahora $S_n=\alpha^n+\beta^n+\gamma^n$ y la última ecuación nos dice que $$aS_3+bS_2+cS_1+3d=0$$

La suma de cuadrados $S_2$ es fácil de encontrar a partir de los polinomios simétricos, y $S_1$ es conocido. Esta observación evita tener que recordar complicadas fórmulas para las sumas de potencias. (Podríamos poner $S_0=3$ )

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En efecto, para las potencias superiores podemos observar

$$\alpha^r p(\alpha)+\beta^r p(\beta)+\gamma^rp(\gamma)=0$$ que da $$aS_{r+3}+bS_{r+2}+cS_{r+1}+dS_r=0$$ que nos permite calcular sucesivamente las sumas de potencias.

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Además, podemos calcular la fórmula para $S_2$ utilizando una cuadrática, como si sólo se tratara de dos raíces, de modo que $$aS_2+bS_1+2c=0$$ con $S_1=-\frac ba$ [1], de modo que $$S_2=\frac {b^2}{a^2}-2\left(\frac ca\right)$$ y esto sigue siendo cierto para cualquier número mayor de raíces. Del mismo modo, la fórmula para tres raíces que podemos derivar de la cúbica se aplica también para cuatro o más raíces.

[1] incluso podríamos haberlo deducido de la ecuación lineal $aS_1+b=0$