Intervalo de confianza. Distribución Bernoulli

Question

Estoy revisando la construcción de intervalos de confianza para una muestra aleatoria con distribución Bernoulli. El libro utiliza la estadística del teorema central del límite que distribuye $N(0,1)$ para estimar el intervalo : $$Z_n = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n -n\mu}{\sigma \sqrt{n}}$$

¿Por qué los intervalos construidos a partir de estas estadísticas son simétricos alrededor del origen?

El libro dice: "Puesto que es deseable que la longitud del intervalo sea lo más pequeña posible y puesto que la distribución normal estándar es simétrica alrededor del origen, resulta que el intervalo de longitud mínima también debe ser simétrico alrededor del origen", pero no lo entiendo.

Answer 1

¡Presta atención!

En primer lugar, el intervalo de confianza que calcula su libro no es un "intervalo exacto", sino sólo asintótico. (puede utilizar esta aproximación si $np$ y $n(1-p)$ son $\geq 5$ ). Para muestras más pequeñas debe utilizar el histograma de la v.r. binomial.

En segundo lugar, la estadística utilizada (nótese que se trata de una estadística CSS) no es simétrica en torno al origen, pero sí lo es en torno a $n\mu$ . De hecho $$T_n=\sum_{i=1}^n X_i$$ tiene una distribución gaussiana asintótica $N(n\mu;n\sigma^2)$

Es simétrica en torno a su media porque si no, la cola asimétrica se convierte en cero.

La Estadística simétrica en torno a cero es la "Cantidad Pivotal" $Z_n=\frac{T-n\mu}{\sigma\sqrt n}=\frac{T-np}{\sqrt{ np(1-p)}}$

...espero que ahora esté claro

adiós