¿Puedes demostrar por qué los puntos de intersección diagonal consecutivos muestran fracciones decrecientes dentro de un rectángulo?

Question

Cuando estaba en tercero de primaria, estaba jugando con rectángulos y líneas diagonales, y descubrí algo muy interesante con las fracciones. Se lo mostré a varios profesores y maestros de matemáticas a lo largo de los años, y nunca obtuve una respuesta. Sólo unos pocos: "¡Vaya, qué ingenioso!".

Dibuja un rectángulo. Dibuja una línea desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha. A continuación, traza una línea desde la esquina superior derecha hasta la esquina inferior izquierda. Obviamente, la intersección se convierte en 1/2 unidad de la anchura del rectángulo.

Ahora dibuja una línea desde la última intersección hasta la línea inferior del rectángulo, y luego desde ese punto hasta la esquina superior derecha del rectángulo. La nueva intersección se convierte en 1/3 unidades del ancho del rectángulo.

Sigue haciendo esto y el denominador de la fracción aumenta en uno cada vez hasta el infinito. ¿Por qué ocurre esto? No sé cómo demostrar por qué ocurre esto, pero sería interesante que alguien pudiera hacerlo. ¿Tú puedes? Nunca me hice matemático para demostrarlo, pero si es fácil, por favor perdonen mi ignorancia matemática. Probé esto hace varios años con AutoCAD y de hecho funciona.

Answer 1

Si tomamos la esquina superior derecha como origen y el $x$ y $y$ hacia la izquierda y hacia abajo, respectivamente, y tomar las longitudes de los lados del rectángulo como las unidades respectivas, estás intersecando las líneas $y=nx$ con la línea $y=1-x$ . Las intersecciones se obtienen igualando los dos lados derechos, $nx=1-x$ y se obtiene $(n+1)x=1$ y, por tanto $x=1/(n+1)$ .

Answer 2

La prueba de Joriki es muy hermosa. Sólo quería añadir otra forma de demostrar la relación mediante triángulos semejantes. He dibujado 2 pasos. Si alguien sigue ese camino, el resultado se puede obtener fácilmente.

Answer 3

Esto es esencialmente lo mismo que Mathlover:

Por triángulos similares:

$$\frac{S}{T} = \frac{B}{H} \hspace{2cm} \frac{A+B}{T} = \frac{A}{H}$$

Entonces, sustituyendo $T$ y ajuste $S=1$ obtenemos

$$A = B (A+B)$$

o, estableciendo $C = A+B$ :

$$B = \frac{C}{C+1}$$

Así que $$C=A+B=\frac{1}{n} \Rightarrow B=\frac{1}{n+1}$$

En general, si $C=p/q$ entonces $B=p/(p+q)$ . Así, por ejemplo, si partimos de $1$ obtenemos la secuencia (original) $(1, \,1/2, \,1/3, \,1/4 \cdots)$ si partimos de $2/3$ obtenemos $(2/3,\, 2/5,\, 2/7 \cdots)$ etc.

Answer 4

Para dirigirme a todos los que hablan de proyecciones, puedo aportar algo aquí. Esto también constituye una prueba geométrica que se basa en la geometría proyectiva. En primer lugar, podemos formalizar su método para dibujar estas líneas utilizando proyecciones. Llama M a la parte inferior del rectángulo. Llama L a la diagonal que va de la parte superior izquierda a la parte inferior derecha. Llama O a la esquina superior derecha. La proyectividad que defines es un producto de dos perspectivas. La primera es de M a L con centro de perspectiva O. Luego, vas de L a M usando el punto relevante en el infinito (donde se encuentran todas las líneas verticales). Esto nos dice que tu método relaciona los puntos de M proyectivamente.

El núcleo de esta demostración se basa en el hecho de que dados cuatro puntos, ABCD con distancias $\frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n+2}, \frac{1}{n+3}$ desde algún punto fijo (como la esquina inferior derecha), la relación cruzada de (AC,BD) es constante: $\frac{-1}{3}$ de hecho. Puede comprobarlo si lo desea.

Nótese que utilizo dos hechos bien conocidos de la geometría proyectiva. Las pruebas están en Wikipedia.

1) Los proyectivitos conservan las relaciones cruzadas

2) Dados tres puntos colineales y una razón cruzada, existe un único punto que satisface la ecuación de la razón cruzada.

Ahora, inducimos. Esto es menos doloroso de lo que parece. Usted ha demostrado el caso de $n = 1$ . Así que el caso base está hecho.

Supongamos que nuestra afirmación es cierta para un n fijo. $x_1, x_2, x_3, x_4$ correspondiente a $n$ . Proyectamos los cuatro puntos, lo que nos da $x_2, x_3, x_4,$ y un nuevo punto $x_5$ . Por 1, las relaciones cruzadas son invariantes, por lo que la relación cruzada de estos cuatro nuevos puntos es $\frac{-1}{3}$ . Por 2, sabemos que esta relación cruzada corresponde sólo a puntos de la $\frac{1}{n}$ descrita anteriormente. Así que $x_5$ tiene distancia $\frac{1}{n+4}$ de la esquina inferior derecha.

Estoy abierto a las críticas. Probablemente haya alguna manera de condensar esto, o al menos mejorar la legibilidad.

Answer 5

La construcción rectangular produce en realidad una hilera en perspectiva. Es como ver una hilera de árboles en perspectiva. Para la explicación geométrica ver Perspective Fields parte 1, páginas 20-24 en: http://www.chrisvantienhoven.nl/index.php/component/docman/cat_view/1-downloads.html?Itemid=&orderby=dmdate_published&ascdesc=DESC También funciona cuando se toma un paralelogramo en lugar de un rectángulo.