Un problema de transitividad de conjuntos

Question

Sea $D$ sea un conjunto transitivo con la siguiente propiedad $$\forall a\in D:\quad a\subseteq B\,\Longrightarrow a\in B$$ Demostrar que $D\subseteq B$ .

Creo que será necesario axioma de regularidad en mi intento, pero no se como aplicarlo :

Por el contrario, supongamos $a_0\in D$ pero $a_0\notin B$ . Por lo tanto $a_0\nsubseteq B$ . Por lo tanto, existe $a_1\in a_0\in D$ tal que $a_1\notin B$ . Repitiendo este procedimiento $\alpha$ veces, Ahora mira $D-B$ :

$$\left\{\begin{array}{ll} a_{\alpha}\in\cdots\in a_2\in a_1\in a_0\in D-B\\ \forall\alpha:a_{\alpha}\in D-B\quad(\text{by transfinite induction!}) \end{array}\right.$$

Ahora el rango de secuencia $\{a_{\alpha}\}_{\alpha\in Ord}$ disminuye sin fin (¡Pero de todas formas no es preciso!).

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Cualquier ayuda para formular y precisar es muy apreciada. (O cualquier enfoque que no sea la regularidad)

Answer 1

En lugar de hacer inducción transfinita directamente, basta con utilizar el hecho (ya conocido, espero) de que todos los conjuntos tienen rango:

Supongamos que $D\not\subseteq B$ . Entonces $D\setminus B$ no es vacío y, por tanto, tiene un elemento $x$ de menor rango.

Todos los elementos de $x$ están en $D$ (porque $D$ es transitiva), por lo que también están en $B$ (porque $x$ tiene menor rango entre los elementos fuera de $B$ ). Por lo tanto $x\subseteq B$ ...

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Es necesario algún tipo de regularidad o fundamento, porque hay contraejemplos no bien fundados. Por ejemplo, dado un axioma antifundamento apropiado, podemos dejar que $D=\{D\}$ y $B=\varnothing$ . Entonces la premisa es cierta, pero $D\not\subseteq\varnothing$ .