Supongamos que $V,W$ son espacios vectoriales con bases $\{e_1,e_2,\dots ,e_m\}$ y $\{f_1,f_2,\dots ,f_n\}$ . Sé que $V\otimes W=F(V\times W)/H$ , $F(V\times W)$ es el espacio vectorial libre en $V\times W$ y $H$ es el subespacio generado por todos los elementos que satisfacen ciertas relaciones tales que la bi-linealidad se mantiene en el espacio cociente. Escribo $v\otimes w$ para la clase de congruencia del par $(v,w)\in V\times W$ . Puedo demostrar fácilmente que los pares $e_i\otimes f_j$ span $V\otimes W$ pero tengo problemas para demostrar la independencia lineal, es decir, que si $\sum_{i,j}\lambda_{ij}e_i\otimes f_j=0$ entonces para todos $i,j$ , $\lambda_{ij}=0$ . ¿Podría alguien indicarme la dirección correcta? Gracias por las respuestas.
Respuesta
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$\def\Hom{\mathrm{Hom}}$ Entonces, como ya sabes que el producto de las bases abarca $V \otimes W$ basta con demostrar que la dimensión de $V \otimes W$ que es la dimensión de su dual, es el producto de la dimensión de $V$ y la dimensión de $W$ .
Primero reducimos el problema a demostrar que $$(V \otimes W)^{*} = \Hom_{k}(V \otimes W, k) \cong \Hom_{k}(V, \Hom_{k}(W, k)) = \Hom_{k}(V, W^{*}).$$
Obsérvese que si la relación anterior se mantiene, entonces la dimensión de $V \otimes W$ es la dimensión del espacio de mapas lineales de $V$ a $W^{*}$ que no es más que el producto de las dimensiones de $V$ y $W^{*}$ y es, por tanto, el producto de las dimensiones de $V$ y $W$ .
Entonces, para mostrar las igualdades anteriores, observe que las igualdades de más a la izquierda y más a la derecha son por definición del dual. Así que tenemos que demostrar que
$$\Hom_{k}(V \otimes W, k) \cong \Hom_{k}(V, \Hom_{k}(W, k)).$$
Esto es realmente cierto si $k$ es un anillo cualquiera y $V$ y $W$ son cualquier $k$ -módulos. Se trata de la unión entre $\Hom$ y producto tensorial. Pero veamos los detalles para el caso del espacio vectorial.
Supongamos que $\phi$ es un mapa lineal de $V \otimes W$ a $k$ . Queremos definir $f(\phi)$ que toma un vector en $v$ y escupe un mapa lineal de $W$ a $k$ . Para ello, definimos
$$(f(\phi) (v)) (w) = \phi(v \otimes w).$$
Debe comprobar que este mapa es lineal y está bien definido. No es demasiado difícil. A continuación construimos un mapa inverso. Dado $\psi$ que a cada $v$ asigna un mapa lineal de $W$ a $k$ definimos $g(\psi)$ como un mapa lineal desde $V \otimes W$ a $k$ definiéndola primero en los tensores simples como $$g(\psi)(v \otimes w) = \psi(v)(w)$$ observando que esto es bilineal en el $v$ y $w$ y, a continuación, observando que los mapas bilineales se extienden a todos los de $V \otimes W$ .
Otra vez, $g$ se puede comprobar que es lineal y también se puede ver fácilmente que $f$ y $g$ son inversas.
