¿Cómo definir un subconjunto generador para el álgebra en una categoría?

Question

Como es bien sabido, la definición de un monoide puede generalizarse a la noción de monoide $A$ en una categoría monoidal $C$ (véase la entrada n-lab aquí ). Lo que me gustaría saber es si la noción de subconjunto generador de un monoide puede generalizarse a este contexto -precisamente, por subconjunto generador entiendo un subconjunto $S$ tal que el ideal más pequeño de $A$ que contiene $S$ es $A$ .

Yo supondría ingenuamente que se necesitaría la existencia de sumas infinitas en $C$ define a grupo electrógeno sea un subobjeto $X$ de $A$ tal que existe un isomorfismo $$ A \simeq \bigoplus_{i \in I} B_i \otimes S \otimes B'_i, $$ para algunos objetos $B_i,B'_i \in C$ .

Además, ¿es esta definición invariable bajo equivalencia de categorías, es decir, si $A$ es generado por un sujeto objeto $S$ en $C$ lo que equivale a $D$ mediante un functor $F$ entonces es $F(A)$ generado por $F(S)$ ?

Por último, ¿cuál es una buena referencia para todo esto?

Answer 1

He aquí una propuesta que evita requerir una noción de monoide libre. Sea $M$ sea un monoide en alguna categoría monoidal $C$ y que $s : S \to M$ sea un morfismo (realmente no hay razón para restringir nuestra atención a subobjetos / monomorfismos).

Definición nº 1: $S$ genera débilmente $M$ si, para cualquier par paralelo de morfismos de monoides $f, g : M \to N$ para $N$ un monoide, $f \circ s = g \circ s$ implica $f = g$ .

Eso es, $s$ es cancelable por la derecha respecto a morfismos hacia otros monoides. Si tienes una noción de monoide libre, por la que entiendo un adjunto a la izquierda $F$ al functor olvidadizo de monoides en $C$ a $C$ es equivalente al mapa inducido $F(S) \to M$ siendo un epimorfismo de monoides.

Esta definición tiene el importante inconveniente de que ¡no reproduce la noción habitual de generación para los anillos! El problema es que un epimorfismo de anillos no tiene por qué ser suryectivo. He aquí una segunda propuesta que al menos reproduce la noción habitual de generación para anillos (más concretamente, reproduce la noción de subgrupo aditivo de un anillo que lo genera bajo multiplicación), pero ahora tengo que suponer que existe un adjunto izquierdo al functor olvidadizo, y probablemente también debería suponer que existen coigualadores o de lo contrario la propuesta probablemente se comportará de forma extraña.

Definición nº 2: $S$ genera $M$ si el morfismo inducido $F(S) \to M$ es un epimorfismo regular es decir, si hay algún otro objeto $R$ y un par de morfismos $f, g : R \to F(S)$ tal que el morfismo inducido $F(S) \to M$ es su coigualador.

Esta definición tiene la ventaja de que el objeto $R$ se puede considerar que especifican las relaciones que satisfacen los generadores. También reproduce la noción habitual de generación para los anillos. (En el caso de los anillos no importa si se requiere que el morfismo sea un epimorfismo regular de anillos o sólo un epimorfismo regular de grupos abelianos; no estoy seguro de si la distinción importa en general).

Una definición más canónica que no depende de suponer que existe algún objeto auxiliar viene dada por la noción de epimorfismo efectivo . Afortunadamente, la distinción desaparece en una categoría con pullbacks, por lo que no es demasiado importante en la práctica.

Ambas definiciones son manifiestamente categóricas y, por tanto, manifiestamente invariantes bajo equivalencia monoidal de categorías monoidales (que supongo que es lo que querías preguntar).

Por último, probablemente merezca la pena señalar que si $C$ tiene coproductos contables y la estructura monoidal distribuye sobre coproductos contables en ambas variables entonces el funtor monoide libre $F$ puede construirse de forma muy explícita como

$$\displaystyle S \mapsto F(S) = \bigsqcup_{n \ge 0} S^{\otimes n}.$$