Encontrar todos $c\in \mathbb{Z}_5$ para lo cual $\mathbb{Z}_5[x]/\langle x^3+2x+c\rangle$ es un campo.

Question

Encontrar todos $c\in \mathbb{Z}_5$ para lo cual $\mathbb{Z}_5[x]/\langle x^3+2x+c\rangle$ es un campo.

He elaborado $0$ no se debe a que los factores a $x(x^2+2)$ . Creo que $c=1,2,3,4$ son todos campos porque es irreducible, pero no estoy seguro de esta respuesta. ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Tenga en cuenta que $\mathbb Z_5[x]$ es un PID, por lo que todos los ideales primos son maximales, es decir $\mathbb Z_5[x]/\langle x^3+2x+c\rangle$ es un campo si $x^3+2x+c$ es primo (y como los PID son UFD, basta con demostrar que $x^3+2x+c$ es irreducible). Dado que $x^3+2x+c$ tiene grado $3$ si no es irreducible debe factorizarse en un polinomio lineal y cuadrático, por lo que tiene una raíz. Así que basta con determinar para qué $c$ tiene una raíz en $\mathbb Z_5$ . Desde $\mathbb Z_5$ es tan pequeño, la forma más fácil es probablemente conectar cada elemento de $\mathbb Z_5$ y ver por qué $c$ son raíces. Esto nos da: $$\begin{align} x=0 &: c=0\\ x=1 &: 3+c=0\\ x=2 &: 2+c=0\\ x=3 &: 3+c=0\\ x=4 &: 2+c=0\\ \end{align}$$ así $x^3+2x+c$ es irreducible para $c=1,4$ .

Answer 2

$\Bbb Z_5[x] / \langle x^3 + 2x + c \rangle$ es un campo si $f(x) = x^3 + 2x + c$ es irreducible en $\Bbb Z_5$ . Esto se debe a que $\Bbb Z_5$ es un campo, por lo que $\Bbb Z_5[x]$ es un dominio euclidiano. En particular, todo ideal primo en $\Bbb Z_5[x]$ es maximal, y un ideal es primo si es irreducible.

Desde $\operatorname{deg} f(x) = 3$ , $f(x)$ es irreducible si no tiene ninguna raíz en $\Bbb Z_5$ .

Para cada $k \in \Bbb Z_5$ Resolver $f(k) = 0$ para $c$ y descartar este valor de $c$ . Los valores que quedan al final dan un campo. (Pista: Tu respuesta actual es incorrecta).