Si considero que el $L^2$ y $L^4$ normas sobre $\mathbb R^n$ es decir $||x||_2 = (\sum_{i=1}^n x_i^2)^{1/2}$ y $||x||_4 = (\sum_{i=1}^n x_i^4)^{1/4}$ sé que estas dos normas son equivalentes en el sentido de que podemos encontrar constantes $c, C$ tal que $c||x||_2 \leq ||x||_4 \leq C||x||_2$ ¿pero son equivalentes como funciones suaves (alejadas de cero) en el sentido de que puedo encontrar un cambio de coordenadas/difeomorfismo que envíe una norma a la otra?
Definitivamente puedo encontrar una composición que envíe una norma a la otra: si $$\varphi(x_1, \cdots, x_n) = (x_1^2, \cdots, x_n^2), \quad \psi(x) = \sqrt{x}$$ entonces $\psi \circ ||x||_2 \circ \varphi = ||x||_4$ .
Me gustaría saber si puedo encontrar una única función $\Phi: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^n$ tal que $||x||_2 \circ \Phi = ||x||_4$ y si $\Phi$ puede tener un jacobiano acotado. También, en general, ¿puedo hacer esto para cualquier par de normas en $\mathbb R^n$ y no necesariamente $L^p$ ? Si no, ¿podemos hacerlo con dos funciones $\varphi, \psi$ ¿en su lugar?
Tengo algo de intuición: Creo que "quiero enviar un $L^2$ -balón a un $L^4$ -ball" para que $||x||_2\circ\Phi=||x||_4$ para sostener. Y si tengo un mapa $\Phi_0$ enviar una bola a otra $B_{L^2}(1) \rightarrow B_{L^4}(1)$ Creo que puedo extender esto a un mapa $\Phi$ en todo el espacio tomando un punto, escalándolo a la bola unidad, mapeándolo bajo $\varphi$ y, a continuación, reescala. El único inconveniente de esto es que me imagino que es la escala: Creo que acabaría necesitando dividir (y multiplicar) por una norma y no puedo imaginar que esto tenga una derivada agradable. Esto me hace pensar que tal vez estoy esperando demasiado.
La idea de esta aplicación podría ser la integración de funciones radiales: ¿existe un buen cambio de coordenadas (es decir, un jacobiano acotado) de una norma a otra?
