Prueba de $f(A)=f(A-B)+f(B)$ cuando $f$ es un mapa inyectivo

Question

Quiero demostrar la siguiente proposición:

Sea $A$ sea un conjunto, $B$ sea un subconjunto de $A$ y $f: A\to B$ sea un mapa inyectivo, entonces $f(A) = f(A-B) + f(B).$

¿Podría comprobar mi prueba a continuación?

Supongamos que $f(A-B)\cap f(B) \neq \emptyset$ . Para $x\in f(A-B)\cap f(B)$ existe $a\in A$ que satisface $f(a)=x$ y $b\in A-B$ que satisface $f(b)=x$ . Sin embargo, esto contradice la hipótesis original de que $f$ es inyectiva: $\forall a, b \in A, f(a)=f(b)\Rightarrow a=b$ por lo que lo anterior es imposible. Por lo tanto, $f(A-B)\cap f(B)=\emptyset$ y por lo tanto $f(A)=f(A-B)+f(B)$ .

Answer 1

Aparte de la errata que he señalado en un comentario, tu prueba está bien.

Tenga en cuenta, sin embargo, que no necesita que $B \subseteq A$ . Lo siguiente es cierto:

Lema. Sea $f \colon A \to B$ sea inyectiva, $C \subseteq D \subseteq A$ Entonces $$f[D] = f[D \setminus C] \mathbin{\dot{\cup}} f[C].$$

(La prueba es prácticamente la misma que la que tú has dado).

También hay que tener en cuenta que la inyectividad es necesaria:

Lema. Si $f \colon A \to B$ no es inyectiva, entonces hay alguna $C \subseteq A$ tal que $$f[A \setminus C] \cap f[C] \neq \emptyset.$$

Te dejo la prueba fácil como ejercicio. (Pista: Puedes elegir $C$ sea un singleton).

Answer 2

Supongo que $+$ denota unión disjunta. Tu idea es buena, pero te pierdes en explicaciones.

La prueba de que $f(A)=f(A-B)\cup f(B)$ es fácil y no requiere inyectividad.

Ahora la prueba de que los conjuntos son disjuntos. Más generalmente,

si $X$ y $Y$ son conjuntos disjuntos y $f(X)\cap f(Y)\ne\emptyset$ entonces $f$ no es inyectiva .

En efecto, si $z\in f(X)\cap f(Y)$ entonces $z=f(x)=f(y)$ con $x\in X$ y $y\in Y$ . Desde $X$ y $Y$ son disjuntos, $x\ne y$ .