Esto es parte del Ejercicio 5.13 de Geometría Algebraica de Grado por Reid:
Considere la superficie veronesa $S$ definido por el mapa: $$\phi: \mathbb{P}^2\rightarrow \mathbb{P}^5$$ donde $\phi(x_0,x_1,x_2)=(x_0^2,x_0x_1,x_0x_2,x_1^2,x_1x_2,x_2^2)$ .
El problema pide demostrar que una línea en $\mathbb{P}^2$ es una cónica en $\mathbb{P^5}$ y una cónica en $\mathbb{P}^2$ se asigna a un cuártico en $\mathbb{P}^5$ .
Mi intento :
Supongamos una línea en $\mathbb{P}^2$ se define por $ax_0+bx_1+cx_2=0$ . Entonces tenemos también $V: ay_0+by_1+cy_2=0$ en $\mathbb{P}^5$ . Así que la imagen de la línea en $\mathbb{P}^5$ es la intersección de $V$ y $S$ . Tengo las siguientes preguntas:
- ¿Cómo demostramos que es una cónica?
- ¿Cómo decidimos que no necesitamos más ecuaciones? Por ejemplo, $ay_1+by_3+cy_5=0$ también puede definirlo. Lo mismo ocurre con $ay_2+by_4+cy_5=0$ .
Leí algunas páginas de Harris . Tiene alguna descripción agradable de la superficie Veronese, pero mis preguntas no se resuelven. Tengo preguntas similares entonces sobre una cónica mapeada a una cuártica.
Gracias por su ayuda.
Editar :
Sea $x_0^2+x_1^2+x_2^2=0$ sea una cónica en $\mathbb{P}^2$ . Su imagen en $\mathbb{P}^5$ es la intersección de $y_0+y_3+y_5=0$ y la superficie $S$ . Haciendo un cambio de variable así $y_5=0$ y taponando $-y_0-y_3$ en $y_5$ de las tres ecuaciones definitorias de $S$ Tengo $$y_1^2=-(y_3^2+y_4^2)\\ y_1^2=-(y_0^2-y_2^2)\\ y_1^2=y_0y_3$$
El pullback de las dos primeras son unión de la cónica y una recta ( $x_0=0$ y $x_1=0$ respectivamente). ¿Cómo escribirlo como un único cuártico para que el pullback no contenga la línea extra?
