Imagen de una línea o cónica sobre superficie veronesa.

Question

Esto es parte del Ejercicio 5.13 de Geometría Algebraica de Grado por Reid:

Considere la superficie veronesa $S$ definido por el mapa: $$\phi: \mathbb{P}^2\rightarrow \mathbb{P}^5$$ donde $\phi(x_0,x_1,x_2)=(x_0^2,x_0x_1,x_0x_2,x_1^2,x_1x_2,x_2^2)$ .

El problema pide demostrar que una línea en $\mathbb{P}^2$ es una cónica en $\mathbb{P^5}$ y una cónica en $\mathbb{P}^2$ se asigna a un cuártico en $\mathbb{P}^5$ .

Mi intento :

Supongamos una línea en $\mathbb{P}^2$ se define por $ax_0+bx_1+cx_2=0$ . Entonces tenemos también $V: ay_0+by_1+cy_2=0$ en $\mathbb{P}^5$ . Así que la imagen de la línea en $\mathbb{P}^5$ es la intersección de $V$ y $S$ . Tengo las siguientes preguntas:

• ¿Cómo demostramos que es una cónica?
• ¿Cómo decidimos que no necesitamos más ecuaciones? Por ejemplo, $ay_1+by_3+cy_5=0$ también puede definirlo. Lo mismo ocurre con $ay_2+by_4+cy_5=0$ .

Leí algunas páginas de Harris . Tiene alguna descripción agradable de la superficie Veronese, pero mis preguntas no se resuelven. Tengo preguntas similares entonces sobre una cónica mapeada a una cuártica.

Gracias por su ayuda.

Editar :

Sea $x_0^2+x_1^2+x_2^2=0$ sea una cónica en $\mathbb{P}^2$ . Su imagen en $\mathbb{P}^5$ es la intersección de $y_0+y_3+y_5=0$ y la superficie $S$ . Haciendo un cambio de variable así $y_5=0$ y taponando $-y_0-y_3$ en $y_5$ de las tres ecuaciones definitorias de $S$ Tengo $$y_1^2=-(y_3^2+y_4^2)\\ y_1^2=-(y_0^2-y_2^2)\\ y_1^2=y_0y_3$$

El pullback de las dos primeras son unión de la cónica y una recta ( $x_0=0$ y $x_1=0$ respectivamente). ¿Cómo escribirlo como un único cuártico para que el pullback no contenga la línea extra?

Answer 1

Utilizaré la siguiente notación La definición del mapa veronés se tomará de la pregunta anterior. Denotaré las coordenadas en $\mathbb{P}^{5}$ por $[z_{0}:\ldots:z_{5}]$ y las coordenadas en $\mathbb{P}^{2}$ por $[x_{0}:x_{1}: x_{2}]$ .

Reclamación La superficie veronesa está recortada por tres cuádricas: $$C_{1}: z_{0}z_{3} - z_{1}^{2} = 0$$ $$C_{2}: z_{0}z_{5} -z_{2}^{2}= 0$$ $$C_{3}: z_{3}z_{5} - z_{4}^{2} = 0.$$

Habría que comprobar que efectivamente son suficientes para definir el locus, pero no vamos a entrar en eso.

Consideramos una cuádrica $Q$ en $\mathbb{P}^{2}$ dado por $Q: a_{0}x^{2}_{0} -(a_{1}x^{2}_{1} + a_{2}x^{2}_{2}) = 0$ . Podemos suponer y supondremos que $a_{0} \neq 0$ y después de reescalar $a_{0} = 1$ .

Es evidente que la imagen de $Q$ está contenido en el hiperplano $H: z_{0} - a_{1}z_{3} - a_{2}z_{5} = 0$ .

Nuestro objetivo: Comprender la intersección de este hiperplano con cuadriculas $C_{i}$ .

$$C_{1} \cap H : (a_{1}z_{3} + a_{2}z_{5})z_{3}-z_{1}^{2}= 0$$
$$C_{2} \cap H : (a_{1}z_{3} + a_{2}z_{5})z_{5}-z_{2}^{2}= 0$$

Multiplicando la primera ecuación anterior por $z_{5}$ y el segundo por $z_{3}$ y restándolas obtenemos la ecuación $E:z_{1}^{2}z_{5} - z_{2}^{2}z_{3} = 0.$ Esta ecuación $E$ representa el lugar de la intersección de $H$ con dos de las tres cuádricas. La justificación de este proceso ad hoc es la siguiente: Dentro de la variedad abierta (cuasi-afín) $z_{3}z_{5} \neq 0$ se nos permite multiplicar por funciones distintas de cero $z_{3}$ y $z_{5}$ . Fuera de este lugar hay que comprobar que esta ecuación sigue siendo válida.

A continuación estudiamos la intersección de $E$ y $C_{3}$ . De nuevo se multiplica $E$ por $z_{3}$ y $C_{3}$ por $z_{1}^{2}$ restamos las ecuaciones resultantes y obtenemos $z_{1}^{2}z_{4}^{2}- z_{2}^{2}z_{3}^{2} = 0$ - un cuártico.

_El cálculo de la imagen de un cúbico en $\mathbb{P}^{2}$ bajo el Veronés en el libro de Harris, página 2 aquí es una gran ilustración de la complejidad de averiguar las intersecciones._