Una equivalencia de homotopía entre espacios totales en una fibración (Hurewicz) que no es una equivalencia de homotopía de fibra

Question

En el libro de Topología Algebraica de Hatcher se señala después de 4.61 que:

mapa preservador de fibras + equivalencia homotópica $\Rightarrow$ equivalencia de homotopía de fibras.

Pregunta:

¿Podría haber dos fibraciones sobre el mismo espacio base donde los espacios totales son homotópicamente equivalentes, pero hay no equivalencia de homotopía de fibras entre ellos? (y por lo tanto tampoco un mapa preservador de fibras)

Si es así, me gustaría tener un ejemplo sencillo.

Answer 1

Se puede fibrar un círculo sobre otro círculo de muchas maneras.

Answer 2

Sea X cualquier espacio no contratable. Sea la base de su fibración la unión disjunta de contablemente muchas copias de X y contablemente muchas copias del punto. Que una fibración sea la identidad y la otra sea la identidad sobre cada componente excepto un punto; ponga X sobre ese punto. Los dos espacios son ambos abstractamente homeomórficos a la base, pero una equivalencia de homotopía de fibra tendría que ser una equivalencia de homotopía entre X y el punto sobre ese componente particular.

Answer 3

Hay muchos ejemplos, pero éste es el más sencillo que conozco. Sea $M_{p,q}$ sea el espacio total del haz circular principal sobre $S^2\times S^2$ con clase de Euler $(p, q)$ .

Si $p,q$ son relativamente primos, entonces se sabe que $M_{p,q}$ es difeomorfo a $S^2\times S^3$ . Concretamente, Smale demostró en su artículo "Sobre la estructura de los 5-manifolds" que el tipo de difeomorfismo de los 5-manifolds de espín cerrados y simplemente conectados está determinado por la segunda cohomología que es $\mathbb Z$ para $M_{p,q}$ y también para $S^2\times S^3$ . (Si tiene problemas para mostrar $M_{p,q}$ satisface las condiciones anteriores, véase el artículo de Wang-Ziller "La métrica de Einstein sobre haces toroidales principales".

Por otra parte, la equivalencia de homotopía de fibras en este caso preserva la clase de Euler (hasta el signo).

Answer 4

Creo que James-Whitehead son bastante relevantes:

MR0068836 Revisado James, I. M.; Whitehead, J. H. C. La teoría de homotopía de haces de esferas sobre esferas. II. Proc. London Math. Soc. (3) 5, (1955). 148-166.

MR0061838 Revisado James, I. M.; Whitehead, J. H. C. La teoría homotópica de haces de esferas sobre esferas. I. Proc. London Math. Soc. (3) 4, (1954). 196-218.