Ejemplo de función continua en una variable pero no medible en Lebesgue

Question

Sea $f(x, y) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb R$ . Se puede demostrar que si $f$ es continua en $x$ para cada $y$ y medible en $y$ para cada $x$ entonces $f$ es medible por Lebesgue.

Sin embargo, ¿y si $f$ sólo es continua en $x$ ? Entonces no creo $f$ tiene que ser medible, pero me cuesta encontrar un contraejemplo. Estaba pensando en construir algo que contenga la función de Cantor / "escalera del diablo", pero me pregunto si hay algo que sea más sencillo de definir explícitamente.

Answer 1

Sea $g:[0,1]\to\mathbb{R}$ sea cualquier función no mensurable y sea $f(x,y) = g(y)$ . Es continua (constante) en $x$ pero no medible.