Operadores de multiplicación compactos

Question

En clase, empezamos a hablar de operadores en espacios de Banach después de tratar el Teorema de Arzela-Ascoli. Definimos un operador continuo $T\colon X \to Y$ es compacto si $\overline{T(B_X)}^{Y}$ es compacto, donde $B_X$ es la bola unitaria en $X$ .

Consideremos el espacio de Hilbert $\ell_2 = \{ |x_n|^2 : \sum |x_n|^2 < \infty \}$ . Dada una secuencia acotada $(a_n)^{\infty}_{n=1}$ definimos un operador lineal $A\colon \ell_2 \to\ell_2$ por $A((x_n)) = (a_nx_n)$ . Con la definición anterior, ¿cómo puedo demostrar que el operador $A$ es compacta si y sólo si $\lim a_n = 0$ ? ¿Necesito una definición equivalente de compacidad, o puede hacerse utilizando la definición anterior?

Answer 1

Yo lo haría así:

En primer lugar, supongamos que $\{a_n\}$ no converge a cero. Esto significa que existe $\varepsilon>0$ y una subsecuencia $\{a_{n_k}\}_k$ con $|a_{n_k}|\geqslant\varepsilon$ . Consideremos ahora la secuencia de vectores $\{e_k\}$ donde $e_k$ tiene un 1 en el $n_k$ y cero en el resto. A continuación, $Te_k$ es la secuencia con $a_{n_k}$ dans le $n_k$ -y ceros en el resto. Así que $\|Te_k-Te_j\|_2\geqslant\sqrt2\varepsilon$ ; considerando las bolas de radio $\varepsilon/2$ centrado en el $Te_k$ producimos un número infinito de bolas disjuntas en $\overline{T(B_X)}$ lo que demuestra que $\overline{T(B_X)}$ no es compacto, es decir $T$ no es compacto. Esto demuestra que si $T$ es compacta, entonces la secuencia llega a cero.

Supongamos ahora que $\lim a_n=0$ . Sea $y_1,y_2,\ldots$ sea una secuencia en $\overline{T(B_X)}$ . Fijar $\varepsilon>0$ . Entonces podemos obtener una secuencia $x_1,x_2,\dots$ en $B_X$ con $\|y_j-Tx_j\|_2<2^{-j}\varepsilon$ para todos $j$ . Fijar $n_0$ tal que $|a_n|<\sqrt{\varepsilon/8}$ cuando $n\geqslant n_0$ . Ahora, para cada $k=1,\ldots,n_0$ consideremos la secuencia de $k^{\rm th}$ entradas de la secuencia $\{x_j\}_j$ . Como se trata de un número finito de secuencias en la bola unitaria de $\mathbb{C}$ existe una subsecuencia $\{x_{j_h}\}_h$ tal que su primer $n_0$ las entradas convergen. Así que podemos encontrar $h$ tal que, para $\ell=1,\ldots,n_0$ , $$ |x_{j_{h+m}}(\ell)-x_{j_h}(\ell)|<\frac{\sqrt\varepsilon}{2^{(\ell+1)/2}K^{1/2}}\ \ \ \text{ for all }m $$ (es decir $\{x_{j_h}\}$ es Cauchy en su primera $n_0$ coordenadas). A continuación, $$ \|Tx_{j_{h+m}}-Tx_{j_h}\|_2^2=\sum_{\ell=1}^{n_0}|a_\ell(x_{j_{h+m}}(\ell)-x_{j_h}(\ell))|^2 +\sum_{\ell=n_0+1}^\infty|a_\ell(x_{j_{h+m}}(\ell)-x_{j_h}(\ell))|^2 \\ \leqslant\frac{\varepsilon}2+\frac{\varepsilon}8\,\|x_{j_{h+1}}-x_{j_h}\|_2^2 \leqslant\frac{\varepsilon}2+\frac{\varepsilon}8\,2^2=\varepsilon. $$ Hemos demostrado que $\{Tx_{j_h}\}_h$ es Cauchy, por lo que es convergente en $\overline{T(B_X)}$ . La secuencia $\{y_{j_h}\}_h$ se aproxima arbitrariamente a esta secuencia, por lo que también es convergente. Así que $T$ es compacto.