$inf\{||x|| : x \in X , ||F(x)|| = \alpha\} = \frac{\alpha}{||F||}$

Question

Si $F \in B(X,Y), F\neq 0$ y $\alpha \geq 0$ demuestre que

$$inf\{||x|| : x \in X , ||F(x)|| = \alpha\} = \frac{\alpha}{||F||}$$

donde $B(X,Y)$ es el conjunto de todas las funciones acotadas de $X \to Y$

Sé que $||F(x)|| \leq ||F||.||x||$ lo que nos da $||x|| \geq \frac{\alpha}{||F||}$ . Esto es válido para todos los $x$ en ese conjunto, por lo que será cierto para el $infimum$ también.

Cómo mostrar la otra desigualdad, es decir $inf\{||x|| : x \in X , ||F(x)|| = \alpha\} \leq \frac{\alpha}{||F||}$ ?

Answer 1

Supongamos que $\alpha = 0$ entonces tenemos $\{ ||x ||: ||F x || = 0 \} = \{ 0 \}$ por lo que la igualdad se mantiene. Supongamos $\alpha > 0$ .

Tenemos $|| F || = \sup \{ \frac{||F x|| }{||x||}: x \neq 0\} $ .
Así que para todos $||F || > \epsilon > 0$ podemos encontrar un $x \in X$ tal que $||F x || \ge (||F || - \epsilon )|| x ||$ . Si escalamos $x$ tal que $||F x|| = \alpha$ tenemos $\alpha \ge (||F|| - \epsilon ) ||x||$ que es equivalente a $||x|| \le \frac{ \alpha }{||F|| - \epsilon }$ .

Sea $\epsilon \to 0$ para obtener el límite superior.