Solución de la ecuación polinómica $g(x)\cdot g(y) = g(x)+g(y)+g(xy)-2\;\forall x,y\in \mathbb{R}$

Question

Si $g(x)$ es una función polinómica que satisface $g(x)\cdot g(y) = g(x)+g(y)+g(xy)-2\;\forall x,y\in \mathbb{R}$

y $g(2)=5\;,$ Entonces $g(5) = $

$\bf{My\; Solution::}$ Dado $$g(x)\cdot g(y)=g(x)+g(y)+g(xy)-2.................(\star)$$

$\forall x,y\; \in \mathbb{R}$ y y Dado $g(2) = 5\;,$ Entonces $g(5)=$

Ahora Pon $x=y=1$ en $(\star)\;,$ Obtenemos $$\left(g(1)\right)^2=3(g(1))-2$$

Así obtenemos $g(1)=1$ o $g(1) = 2$

Ahora pon $\displaystyle y = \frac{1}{x}$ en $(\star)\;,$ Obtenemos $$g(x)\cdot g\left(\frac{1}{x}\right) = g(x)+g\left(\frac{1}{x}\right)+g(1)-2.....................(\star\star)$$

Ahora bien, si tomamos $g(1) = 2\;,$ Obtenemos $$g(x)+g\left(\frac{1}{x}\right) = g(x)\cdot g\left(\frac{1}{x}\right)$$ Así que conseguimos $g(x) = 1+x^n.$

Ahora, cuando tomamos $g(1)=1\;,$ Entonces $\displaystyle g(x)\cdot g\left(\frac{1}{x}\right)=g(x)+g\left(\frac{1}{x}\right)-1$

Ahora puedo resolver por encima de la ecuación funcional, Ayúdame, Gracias

Answer 1

Defina $v(x) =g(x) -1 $ entonces tenemos $$v(x) v(y) -v(xy) =(g(x)-1)(g(y) -1) -g(xy) +1 = g(x) g(y) - g(x) -g(y) -g(xy) +2 =0$$ Así, la función $v$ satisface la ecuación funcional $$v(x) v(y) =v(xy) $$ y por lo tanto $$v(x) =x^c $$ y puesto que $$v(2) =4 $$ por lo tanto $$v(x) =x^2$$ y $$g(x) = x^2 +1 $$ así que $$g(5) =26 ,$$