Distribución de probabilidad de las distancias entre los seleccionados aleatoriamente números enteros dentro de un intervalo de

Question

Supongamos que yo pick 'N' enteros en un intervalo [a, B] sin reemplazo. Como una función de la 'N' y la longitud del intervalo, lo que la distribución promedio de los valores debo esperar para que las distancias entre más cercano a los vecinos en un conjunto ordenado de la selección de números enteros?

Edit: pido disculpas, una nota importante es que las distancias entre los extremos y el más cercano de los enteros a los extremos, también deben ser incluidos. Esto es un poco como dividir un trozo de cuerda a (B - A + 1) segmentos de corte en los lugares que representan la 'N' seleccionado enteros, y mirando a la distribución de cortar longitudes de cable.

Edit 2: al Parecer esta pregunta está en desesperada necesidad de aclaración. La ampliación de la cuerda ejemplo yo siempre, aquí es exactamente lo que estoy buscando:

Luego de cortar la cuerda en 'N' piezas, y la colocación de estas piezas en una bolsa, me gustaría mucho la probabilidad, P(k), de seleccionar al azar un fragmento de cuerda de la longitud de la 'k' de esta bolsa. Aquí, la probabilidad de selección de un determinado fragmento de la cuerda es independiente de su longitud. La función de P(k) proporciona lo que me gustaría saber acerca de la distribución de longitudes de cable después de 'N' recortes.

Answer 1

Deje $X_{(1)}, \ldots, X_{(N)}$ ser el elegido enteros, en orden creciente (el orden de las estadísticas). Por simplicidad vamos a suponer $A = 1$. Por supuesto, debemos tener $B \ge N$. Luego me dicen que todos los "huecos" $X_{(j+1)} - X_{(j)}$ $B+1 - X_{(N)}$ $X_{(1)} - 0$ tiene valor esperado $(B+1)/(N+1)$.

Tenga en cuenta que $E[X_{(1)} | X_{(2)}] = X_{(2)}/2$, debido a dado $X_{(2)} = x$, $X_{(1)}$ es igualmente probable que sea cualquiera de los números enteros de 1 a $x-1$. Por lo tanto $E[X_{(1)}] = E[X_{(2)} - X_{(1)}]$. Del mismo modo, dado $X_{(j)} = x$$X_{(j+2)} = y$, $X_{(j+1)}$ tiene la misma probabilidad de ser cualquiera de los números enteros $x+1$$y-1$, por lo que $E[X_{(j+2)} - X_{(j+1)}] = E[X_{(j+1)} - X_{(j)}]$. Del mismo modo, $E[B+1-X_{(N)}] = E[X_{(N)} - X_{(N-1)}]$. Por lo tanto todos los $N+1$ lagunas tienen el mismo valor esperado, y desde que se suman a $B+1$ que el valor esperado es $(B+1)/(N+1)$.

Answer 2

Editar La respuesta a continuación aborda una cuestión diferente de la original. Que fue un error mío, debidamente señalados por Mateo en un comentario, así que he borrado mi respuesta. Más tarde, el OP añadido algunas precisiones a la pregunta, que de hecho cambiar completamente. Como consecuencia de esta modificación de la pregunta, mi respuesta se convierte en relevante, milagrosamente (módulo los extremos cosa). Llamar a esto una manifestación de la presciencia si quieres, de todas formas yo repost mi respuesta, y este es el final de mi intervención en esta página.

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Hay $N-1$ distancias entre más cercano a los vecinos entre $N$ puntos por lo que la distancia media (promedio de más de una muestra dada) es el intervalo de la muestra dividida por $N-1$. El intervalo es el máximo $M$ de la muestra menos el mínimo de $m$ de la muestra. Por simetría, $m$ es distribuido como $B+A-M$ por lo tanto la distancia media (promedio sobre las muestras) es $$ E(S)=\frac1{N-1}E(M-m)=\frac1{N-1}(2E(M)-(a+B)). $$ Para cada una de las $n$ tal que $N\le n\le B-A$, $n!/(n-N)!$ muestras que $M\le A+n$, por lo tanto $$ B+1-E(M)=\sum_{n=N}^{B}P(M\le a+n)=\frac {B-A-N)!}{(B-A)!}\sum_{n=N}^{B}\frac{n!}{(n-N)!}. $$ Poniendo todo esto junto ceda $E(S)$.

Answer 3

Por alguna razón, todas las respuestas a esta pregunta, incluyendo la aceptación de uno, sólo discutir el valor esperado de la más cercana al vecino distancias o la distribución de la menor más cercano al vecino distancia, pero no la distribución de la más cercana al vecino distancias. Este fue también el tema de la pregunta ulterior Distribución de probabilidad de los elementos y de pares diferencias en una lista ordenada, que es muy similar a este, aunque no es un duplicado exacto de la otra.

Mi respuesta a esa pregunta, adaptado a la notación de la presente pregunta, da la probabilidad de

$$P(d_i=d)=\frac{\binom{B-A+1-d}{N-1}}{\binom{B-A+1}N}$$

que el $i$-ésimo más cercana al vecino distancia$d_i$$d$, independiente de $i$.

Answer 4

No estoy seguro de si debo interpretar tu pregunta correcta, por lo que me cuentan cómo la he entendido.

Estás recogiendo $N$ enteros ($X_1,\dots,X_N$) fuera del intervalo de $[A, B]$. Entonces usted obtener w.l.o.g. una secuencia ascendente de $X$s y están interesados en el promedio de la distancia entre dos puntos consecutivos, es decir, usted quiere saber

$$ \frac{(X_1-A) + (X_2 - X_1) + (X_3 - X_2) + \dots + (X_n-X_{n-1}) + (B-X_n)}{n+1} = \frac{B}{n+1}. $$

La sobre simplificación se sigue del hecho de que usted puede evaluar el numerador es un telescopio suma. El resultado no es al azar en todo, como se puede ver, es decir, el valor esperado de la media de la distancia entre vecinos es, simplemente,$\frac{B-A}{n+1}$.

Answer 5

Hay $N$ lugares de $B - A - 1$ donde pueden hacerse los cortes así que debemos tener $N+1 \ge B - A $ a ser capaz de hacer cortes. La distancia más corta $s$ entre los vecinos (es decir, los recortes y los extremos) debe satisfacer $s(N+1) \ge B-A$, por lo que la manera más amplia posible la distancia más corta entre vecinos,$\lfloor \frac{B-A}{N+1} \rfloor$.

Hay $B-A-1 \choose N$ formas de hacer de la $N$ cortes. Si el menor diferencia entre los vecinos es , al menos, $s$, entonces no se $B-A-1 - (s-1)N \choose N$ formas de hacer de la $N$ cortes. Así que la probabilidad de que la distancia más corta entre vecinos es exactamente $s$ es $$Pr(S=s) = \frac{{B-A-1 - (s-1)N \choose N} - {B-A-1 - sN \choose N} }{B-A-1 \choose N}.$$

La espera más corta la distancia entre vecinos es, por tanto, $$E[S]=\sum_{s=1}^{\lfloor \frac{B-A}{N+1} \rfloor} \frac{{B-A-1 - (s-1)N \choose N} }{B-A-1 \choose N} . $ $

Como una ilustración, si $A=10$, $B=20$ y $N=3$, el más amplio posible de la distancia más corta es $2$. Hay 20 formas de la distancia más corta, siendo 2 y 64 formas de ser 1, de un total de 84. La espera más corta que la distancia es, por tanto,$\frac{104}{84} \approx 1.238$.