media esférica de la solución de la ecuación de helmholtz

Question

Estoy atascado con este problema. Dado un dominio $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ donde la función $u$ satisface: $u_{xx} +u_{yy}+u_{zz} + k^2 u = 0$ se me pide que encuentre la media esférica sobre la esfera $\{(x, y, z)\in \mathbb{R}^3; ||(x-x_0, y-y_0, z-z_0)||=R\} \subset \Omega$ .

Obviamente pensé en intentar adaptar la propiedad del valor medio para las funciones armónicas, pero fue en vano. Entonces traté de encontrar una forma general de la solución utilizando la separación de variables. De esta forma creo que, si se utilizan coordenadas esféricas, el factor azimutal de la solución es proporcional $\Psi(\psi)=e^{in\psi}$ lo que significa que al integrar el ángulo acimutal en $\int u d\sigma=-1/k^2\int \nabla^2 u d\sigma $ Obtendré cero por periodicidad. Creo que esta solución es probablemente errónea. Agradecería cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

Sea $v(r)$ sea la media en la esfera de radio $r$ . Entonces $v'(r)$ es la media de la derivada normal. Por lo tanto, $4\pi r^2 v'(r)$ es el flujo de $\nabla u$ fuera de la esfera. Por el teorema de la divergencia, este flujo es igual a la integral de $\Delta u$ sobre la bola delimitada por la esfera. Esta última integral es $$\int_{B_r}\Delta u = -k^2\int_{B_r} u = -4\pi k^2\int_0^r s^2 v(s)\,ds$$ Así, $$r^2 v'(r) = -k^2\int_0^r s^2 v(s)\,ds \tag{1}$$ Diferencie $v$ para obtener una EDO: $$ r^2 v''(r) +2r v'(r)+k^2 r^2 v(r) =0 \tag{2}$$ Se parece a la ecuación de Bessel, excepto por el factor de $2$ lo que lo convierte en un ecuación esférica de Bessel : a diferencia de la ordinaria, (2) tiene una solución bastante elemental (sinc).