Pilas cohomológicamente triviales

Question

El siguiente teorema de Serre es bien conocido:

Un esquema noetheriano $X$ es afín si y sólo si $H^i(X; \mathcal{F}) = 0$ para todas las laminillas cuasicoherentes $\mathcal{F}$ en $X$ y todos $i>0$ . (En realidad basta con tener esto para $i=1$ y todas las láminas ideales coherentes).

Me pregunté si existe una extensión de este teorema a las pilas (Artin/Deligne-Mumford). Más concretamente:

Pregunta: ¿Se puede caracterizar la clase de pilas (Artin/Deligne-Mumford) $X$ tal que $H^i(X; \mathcal{F}) = 0$ para todas las laminillas cuasicoherentes $\mathcal{F}$ en $X$ y todos $i>0$ ?

No es cierto que los esquemas afines sean los únicos ejemplos. Por ejemplo, tomemos un anillo graduado $A$ y considerar $X = Spec A // \mathbb{G}_m$ (donde el $\mathbb{G}_m$ -es inducida por la gradación). La categoría de láminas cuasicoherentes sobre $X$ es (por fpqc-descenso) equivalente a la de graded $A$ -y el functor de secciones globales corresponde a tomar el grado cero de dicho módulo graduado. Esto es claramente exacto y, por tanto, todos los grupos de cohomología superiores de todas las láminas cuasicoherentes desaparecen.

Answer 1

Supongamos que $\mathcal X$ es una pila algebraica con inercia finita (por ejemplo, una pila separada de Deligne-Mumford); entonces, por un conocido resultado de Keel y Mori, existe un espacio de moduli $\pi \colon \mathcal X \to M$ . La pila $\mathcal X$ se llama domar cuando $\mathrm R^i\pi_* F = 0$ para toda gavilla cuasi-coherente $F$ en $\mathcal X$ y cada $i > 0$ . De la definición se deduce fácilmente que los apilamientos mansos con espacios de módulos afines tienen la propiedad que usted requiere. En característica 0, una pila algebraica con diagonal finita es mansa si y sólo si es Deligne-Mumford.

Hay varias caracterizaciones diferentes de las pilas mansas; véase el artículo "Tame stacks in positive characteristic" de Dan Abramovich, Martin Olsson y yo mismo. Utilizando los resultados de ese artículo, no es difícil demostrar que una pila algebraica noetheriana con inercia finita tiene la propiedad deseada si y sólo si es dócil con espacio de moduli afín.

[Editar:] aquí hay una prueba de que si una pila algebraica noetheriana $\mathcal X$ con inercia finita tiene la propiedad que quieres es manso con espacio de moduli afín. Sea $\mathcal X \to M$ sea el espacio de moduli. Sea $\mathcal G$ sea el gerbo residual sobre un punto cerrado de $M$ Entonces $\mathcal G$ está cerrado en $\mathcal X$ por lo que la cohomología de cada gajo cuasi-coherente sobre $\mathcal G$ es trivial. El espacio de moduli de $\mathcal G$ es el espectro de un campo, por lo que $\mathcal G$ es manso. Esto implica que el grupo de automorfismo de un objeto de $\mathcal G$ es linealmente reductor. Uno de los resultados del artículo implica que una vecindad abierta de $\mathcal G$ en $\mathcal X$ es manso. Como todo subconjunto cerrado no vacío de $M$ contiene un punto cerrado de $M$ esto implica que estos barrios abiertos cubren $\mathcal X$ Así que $\mathcal X$ es manso.