Demuestre que $19\mid 12^{2013}+7^{2013}$

Question

Demuestra que $$19\mid 12^{2013}+7^{2013}$$$$$$ No uso de aritmética modular, no han llegado este contenido.

Answer 1

Tenga en cuenta que $12\equiv-7\pmod{19}$ de modo que $$ 12^{2013}+7^{2013}\equiv(-7)^{2013}+7^{2013}\equiv-7^{2013}+7^{2013}\equiv0\pmod{19}. $$ Por lo tanto $19$ divide $12^{2013}+7^{2013}$ .

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Edita: El OP ha cambiado la pregunta, pidiendo no usar aritmética modular.

En este caso, podemos utilizar $$ 12^{2013}+7^{2013}=12^{2013}-(-7)^{2013}, $$ junto con el siguiente hecho:

$$ \frac{a^n-b^n}{a-b}=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}. $$ Esto nos dice que $$ 12^{2013}-(-7)^{2013}=M\cdot (12-(-7))=19M, $$ donde $$ M:=\sum_{k=0}^{2012}12^k\cdot(-7)^{2012-k}\in\mathbb{Z}. $$

Answer 2

Utilizando $$a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^2-...-ab^{2n-1}+b^{2n})$$

obtienes

$$12^{2013}+7^{2013}=(12+7) \left(12^{2012}-12^{2011}\cdot 7+12^{2010}\cdot 7^2-...+7^{2012} \right)$$

P.D. Alternativamente, puedes utilizar el teorema binomial. $$12^{2013}+7^{2013}=(19-7)^{2013}+7^{2013}$$

$$(19-7)^{2013} =\sum_{k=0}^{2013} \binom{2013}{k}19^{2013-k}(-1)^k7^k$$

Ahora, utilice el hecho de que para $1 \leq k \leq 2013$ el número $\binom{2013}{k}19^{2013-k}(-1)^k7^k$ es divisible por $19$ . Por lo tanto

$$(19-7)^{2013} =\mbox{multiple of 19}+ \binom{2013}{2013}19^{0}(-1)^{2013}7^{2013}$$

Lo que estoy haciendo en esta segunda solución es simplemente aritmética modular oculta ;)

Answer 3

Primero demostraremos dos teoremas que utilizaremos

Si $a,\;b,\;c\;\in \mathbb{N}$ con $a\neq0$ y $x,y\in\mathbb{N} $ tal que $a\mid b$ y $a\mid c$ entonces, $a\mid bx+cy$ ;

Espectáculo: $a\mid b$ y $a\mid c$ implica que hay $m,n\in\mathbb{N}$ tal que $b=a\cdot m$ y $c=a\cdot n$ ; $$bx+cy=am\cdot x+an\cdot y=a(mx+ny)\Longrightarrow a\mid bx+cy \;\;\;\Box$$ Ahora tenemos que demostrar el teorema que utilizamos para resolver esta cuestión, y en esta prueba utilizamos el teorema demostrado anteriormente

Son $a,b,n\in\mathbb{N}$ con $a+b\neq0$ tenemos $a+b\mid a^{2n+1}+b^{2n+1}$

Espectáculo: Han demostrado la inducción $n=0$ la afirmación es cierta porque $a+b\mid a^{2\cdot 0+1}+b^{2\cdot0+1}\Longrightarrow a+b\mid a+b$ hipótesis: $a+b\mid a^{2n+1}+b^{2n+1}$ ; $$a^{2(n+1)+1}+b^{2(n+1)+1}=a^{2n+3}+b^{2n+3}=a^{2n+1+2}+b^{2n+1+2}=a^2a^{2n+1}+b^2b^{2n+1}=$$$$ =a^2a^{2n+1}+b^2b^{2n+1}\underbrace{-b^2a^{2n+1}+b^2a^{2n+1}}_{=0}=a^2a^{2n+1}-b^2a^{2n+1}+b^2b^{2n+1}+b^2a^{2n+1}= $$$$=a^{2n+1}(a^2-b^2)+b^2(a^{2n+1}+b^{2n+1})$$ sabemos que $a+b\mid a^2-b^2$ porque $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ nuestra hipótesis nos da que $a+b\mid a^{2n+1}+b^{2n+1}$ y el teorema mostrado anteriormente nos asegura que $a+b\mid a^{2n+1}(a^2-b^2)+b^2(a^{2n+1}+b^{2n+1})$ demostrando así que el teorema es válido para $n +1$ va para cualquier $n\in\mathbb{N}\;\;\Box$

Pregunta: Demuestre que $19\mid 12^{2013}+7^{2013}$

Utilizando el teorema demostrado anteriormente, tenemos fácilmente que $19=12+7$ y $$12+7\mid 12^{2013}+7^{2013}$$ porque $2013=2\cdot1006+1$ y $1006\in\mathbb{N}$