Atiyah-Macdonald Libro qn 17 Faithfully Flat

Question

Me pregunto cómo resolver este problema: dado $f:A\rightarrow B$ y $g:B\rightarrow C$ homomorfismos de anillo. Si $g\circ f$ es plana, y $g$ es fielmente plana, entonces $f$ es plana.

Si no me equivoco, la pregunta nos pide que demostremos que $B$ es un plano $A$ -módulo. Así que queremos demostrar que si $M$ y $N$ son $A$ y si $M\rightarrow N$ es inyectiva, entonces $M\otimes_{A}B\rightarrow N\otimes_{A}B$ también es inyectiva.

Así que procedo de la siguiente manera: puesto que $C$ es plana sobre $A$ Así que $M\otimes_{A}C\rightarrow N\otimes_{A}C$ también es inyectiva. Pero a partir de aquí no estoy seguro de cómo utilizar el hecho de que $C$ es fielmente plana sobre $B$ . He aquí algunos enfoques que he probado:

1) $C\cong C\otimes_{B}B$ PERO para utilizar la propiedad de asociatividad en $M\otimes_{A}(C\otimes_{B}B)$ Exijo $C$ y $B$ ser $A$ módulos.

2) Así que intenté ver si $C\cong C\otimes_{A}B$ como $A$ módulos, pero no pude.

¿Algún otro enfoque?

Answer 1

Desde $g\circ f$ es plana sabes que $0\to M\otimes _A C\to N\otimes _A C$ es inyectiva.
La observación crucial es que $M\otimes_A C$ es isomorfo a $ (M\otimes_A B)\otimes _B C$ y análogamente para $N$ de modo que $0\to (M\otimes_A B)\otimes _B C \to (N\otimes_A B)\otimes _B C $ es inyectiva.
Ahora la planitud fiel de $C$ en $B$ implica (véase el resultado auxiliar a continuación) que $0\to M\otimes_A B \to N\otimes_A B$ es inyectiva, que es lo que querías.

Un resultado auxiliar
Más arriba he utilizado que dado un morfismo de $B$ -módulos $u:P\to Q$ el hecho de que $u\otimes _B C:P\otimes _B C\to Q\otimes _B C$ es inyectiva implica (si $C$ es fielmente plana sobre $B$ ) que $u:P\to Q$ es inyectiva.

Como Atiyah-Macdonald no mencionan ese resultado, lo probaré:
Considere el núcleo $K=Ker(u)$ y la secuencia exacta $0\to K\to P\stackrel {u}{\to} Q$ .
Por planitud de $C$ en $B$ induce una secuencia exacta $0\to K\otimes _B C\to P\otimes _B C\to Q\otimes _B C$ .
Puesto que por hipótesis $u\otimes _B C: P\otimes _B C\stackrel {u\otimes _B C}{\to}Q\otimes _B C $ es inyectiva, se obtiene $K\otimes _B C=0$ que finalmente da $K=0$ por la propiedad iv) (una de las definiciones equivalentes de planitud fiel) del Ejercicio 16.
Decir que $K=0$ equivale, por supuesto, a decir que $u$ es inyectiva, que es lo que prometí demostrar.