Si $n\ge2$ Demostrar $\binom{2n}{3}$ es par.

Question

Agradecería cualquier ayuda. Puedo ver que es cierto a partir del triángulo de Pascal, y he intentado jugar con la identidad de Pascal y el teorema del binomio para demostrarlo, pero no estoy haciendo ningún progreso.

Answer 1

$${2n\choose 3}=\frac{(2n)(2n-1)(2n-2)}{6}=\frac{n(2n-1)(n-1)\cdot 2}{3}$$ Obsérvese que el numerador es múltiplo de 2, mientras que el denominador no lo es, por lo que el resultado debe ser múltiplo de 2.

De hecho, desde que uno de $n, n-1$ debe ser par, el número ${2n\choose 3}$ debe ser múltiplo de $4$ no sólo $2$ .

Answer 2

Los argumentos combinatorios también son buenos.

Imagine que tiene $n$ parejas, para un total de $2n$ personas. Deja que $\mathscr{T}$ sea el conjunto de todos los $\binom{2n}3$ conjuntos de $3$ de estas personas. Para cada $T\in\mathscr{T}$ deje $T'$ ser miembro de $\mathscr{T}$ obtenida intercambiando cada miembro de $T$ para el cónyuge de esa persona. Así, si $T$ no contiene ninguna pareja, entonces $T\cap T'=\varnothing$ mientras que si $T$ contiene un par, $T'$ contiene la misma pareja y el cónyuge del tercer miembro de $T$ . Obsérvese que en todos los casos $T\ne T'$ y $(T')'=T$ .

$$\big\{\{T,T'\}:T\in\mathscr{T}\big\}$$

es entonces una partición de $\mathscr{T}$ en conjuntos de dos elementos, por lo que $\binom{2n}3=|\mathscr{T}|$ es par.

Answer 3

He aquí un enfoque que no utiliza factoriales:

Toma $2n$ objetos y separarlos en dos grupos de $n$ . Te interesa la cantidad de formas que puedes elegir $3$ de ellos. Para cualquier elección, tendrás más de un montón que del otro. Por simetría, habrá el mismo número de elecciones que "favorezcan" a cada pila sobre la otra, así que en total habrá un número par de elecciones.

Este argumento sirve para demostrar la igualdad de $2n\choose k$ para cualquier Número impar $k$ .

Answer 4

$\displaystyle\ \dfrac{(2n)(2n\!-\!1)(2n\!-\!2)}{3\cdot 2\cdot 1} \, =\, \dfrac{\color{#c0f}4}{\color{#0a0}{2n\!+\!1}}\dfrac{(\color{#0a0}{2n\!+\!1})(2n)(2n\!-\!1)(2n\!-\!2)}{\color{#c0f}4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\, =\, \dfrac{\color{#c00}4}{2n\!+\!1}{2n\!+\!1\choose 4}\ $ es $\,\rm\color{#c00}{even}$

Observación $\ $ El mismo método muestra $\ k\!+\!1 \mid {\large {\,n\,\choose k}}\, $ si $\ \gcd(k\!+\!1,n\!+\!1)=1,\,$ Por ejemplo

$$ a^{\large k}\, {\Large \mid}\ {an\choose a^{\large k}\!-1}\qquad\quad$$

Tu ejemplo es simplemente el caso especial $\ a=2 = k.$

Answer 5

Siguiendo el espíritu de otras respuestas $S=\{\color{red}1,\color{blue}1,\color{red}2,\color{blue}2\dots, \color{red}n,\color{blue}n\}$ . Si $T$ es un $3$ -subconjunto de elementos de $S$ un color predomina entre sus elementos, y el conjunto $T'$ que se obtiene cambiando el color de cada número de $T$ es diferente $3$ -subconjunto de elementos de $S$ . (Predomina el otro color.) El $3$ -subconjuntos de elementos de $S$ pueden agruparse en pares disjuntos, cada subconjunto emparejado con su "color opuesto", por lo que debe haber un número par de estos subconjuntos.