¿Cuál es el uso de el Producto escalar de dos vectores?

Question

Supongamos que se tienen dos vectores de un y b que desea tomar el producto escalar, ahora esto se hace simplemente mediante la toma de cada una de las correspondientes coordenadas de cada vector, multiplicarlas y, a continuación, agregar el resultado en conjunto. Al final de la realización de nuestra operación nos quedamos con un número constante.

Mi pregunta es ¿qué podemos hacer con este número, ¿por qué tenemos que calcular por así decirlo? Me refiero a que parece casi inútil para mí en comparación con el producto cruz de dos vectores (en el que terminan con un vector real).

Answer 1

Re: "[el producto escalar] parece casi inútil para mí en comparación con el producto cruz de dos vectores ".

Por favor, consulte la entrada de la Wikipedia para el Producto escalar para aprender más acerca de la importancia de las dot-producto, y para muestra gráfica que ayuda a visualizar lo que el producto escalar significa (en particular, la interpretación geométrica). También, usted aprenderá más acerca de cómo se utiliza. E. g., Desplácese hacia abajo para "Física" (en la entrada vinculada) a la lectura de algunos de sus usos:

Mechanical work is the dot product of force and displacement vectors.
Magnetic flux is the dot product of the magnetic field and the area vectors.

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Te he compartido el algebraicas definición de producto escalar: cómo se calcula como la suma del producto de las entradas correspondientes en dos vectores: esencialmente, la informática, la $\;\mathbf A \cdot \mathbf B = {\mathbf A}{\mathbf B}^T.\;$

Pero el producto escalar también tiene un equivalente a la definición geométrica:

En el espacio Euclidiano, un Euclidiana del vector es un objeto geométrico que posee tanto una magnitud y una dirección. Un vector puede ser representado como una flecha. Su magnitud es su longitud, y su dirección es la dirección en que apunta la flecha. La magnitud de un vector a se denota por a $\|\mathbf{A}\|.$ El producto escalar de dos Euclidiana vectores a y B se define por

$$\mathbf A\cdot\mathbf B = \|\mathbf A\|\,\|\mathbf B\|\cos\theta,\quad\text{where $\theta$ is the angle between $$ and $B.$} \tag{1}$$

With $(1)$, e.g., we see that we can compute (determine) the angle between two vectors, given their coordinates: $$\cos \theta = \frac{\mathbf A\cdot\mathbf B}{\|\mathbf Un\|\,\|\mathbf B\|}$$

Answer 2

La motivación original es un geométricas: El producto escalar puede ser utilizado para calcular el ángulo de $\alpha$ entre los dos vectores $a$$b$:

$a\cdot b=|a|\cdot|b|\cdot \cos(\alpha)$.

Nota el signo de esta expresión sólo depende del ángulo del coseno, por lo tanto, el producto escalar es

• $<0$ si el ángulo es obtuso,
• $>0$ si el ángulo es agudo,
• $=0$ si $a$ $b$ son ortogonales.

Otro importante caso especial que aparece al $a=b$: La raíz de el producto escalar de un vector consigo mismo es la longitud de un vector:

$a\cdot a=|a|\cdot|a|\cdot1=|a|^2$.

Hay otra interesante aplicación de la dot producto, en combinación con el producto cruzado: Si usted tiene tres vectores $a$, $b$ y $c$, definen una forma de paralelepípedo, y usted puede calcular su (firmado) volumen $V$ como sigue utilizando la denominada" triple producto escalar:

$V=(a\times b)\cdot c$

(Tenga en cuenta que esta es una generalización de $|a\times b|$, siendo el área del paralelogramo definido por $a$$b$.)

Answer 3

Antes de abordar su pregunta, quiero decir que esta es una pregunta muy buena y tiene el derecho de esperar que el producto escalar tiene el uso/significado.

En primer lugar, es importante que usted piense acerca de los vectores separados de sus coordenadas. Si bien es cierto que a menudo nos representan vectores como una serie de coordenadas a lo largo de bien definidos los ejes, esto es simplemente para computacional razones. Un vector como una idea que existe en un espacio sin ningún predefinidos del sistema de coordenadas. Digo esto porque hay dos definiciones de producto escalar, uno es coordinar libre (es decir,$\mathbf a\cdot\mathbf b = \|\mathbf a\|\,\|\mathbf b\|\cos\theta$) y el otro se basa en las coordenadas (es decir,$\mathbf a\cdot\mathbf b = \sum_i{a_i b_i}$). De estos dos, es mejor pensar en el producto escalar en términos de la anterior, ya que no dependen de un sistema de coordenadas. (Es relativamente fácil demostrar que el último puede ser derivada de la anterior, pero en el que la derivación es una suposición implícita de que el sistema de coordenadas que se utiliza para representar el producto escalar es ortogonal.)

Segundo, dada la coordenada de libre definición, la idea fundamental de que el producto escalar es el de la proyección. Por esto se le da un número que indica la componente de un vector en la dirección de otro vector. Su observación de la diferencia entre el punto y el producto cruz es correcta, sin embargo, el producto escalar se utiliza para producir un vector así, sólo lo hace componente a componente. Supongamos que tenemos un vector $\mathbf v$ representado por sus componentes en un determinado sistema de coordenadas. Vamos supongamos que tenemos una base ortonormales definidos en el mismo sistema de coordenadas como el conjunto de vectores columna $\{\mathbf u_1, \mathbf u_2, \ldots, \mathbf u_n\}$. Por último, supongamos que queremos representar a $\mathbf v$ en esta base como $\mathbf w$. La pregunta es ¿cómo hacemos eso? Utilizamos el producto escalar de curso! Así que el primer componente de $\mathbf w$ sería entonces, ser $w_1 = \mathbf u_1\cdot \mathbf v$, y el segundo componente sería $w_2 = \mathbf u_2\cdot \mathbf v$ y así sucesivamente. (Tenga en cuenta que debido a $\|\mathbf u_i\| = 1$,$\mathbf u_1\cdot \mathbf v= \|\mathbf v\|\cos\theta_i$.) Si luego pensar en el vector $\mathbf w$ definidos como tales, tenemos

$$\mathbf w = \left[ \begin{array}{c} w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_n \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \mathbf u_1\cdot \mathbf v \\ \mathbf u_2\cdot \mathbf v \\ \vdots \\ \mathbf u_n\cdot \mathbf v \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \mathbf u_1^T \mathbf v \\ \mathbf u_2^T \mathbf v \\ \vdots \\ \mathbf u_n^T \mathbf v \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \mathbf u_1^T \\ \mathbf u_2^T \\ \vdots \\ \mathbf u_n^T \end{array} \right]\mathbf v = \left[ \begin{array}{cccc} \mathbf u_1 & \mathbf u_2 & \cdots &\mathbf u_n \end{array} \right]^T\mathbf v$$

Finalmente, llegamos a la conclusión de que el punto del producto juega un papel clave en la transformación de un vector a partir de una base a otra y que el producto escalar se oculta en la definición de la multiplicación de la matriz en la que un punto de vista de una matriz-vector producto es que cada elemento en el producto representa un producto escalar entre una fila de la izquierda y en la columna de la derecha.

Espero que esto ayude.

Answer 4

El producto escalar es un ingrediente esencial en la matriz producto. El producto de las dos matrices $A$ $B$ (compatibles tamaños, es decir, el número de columnas de a $A$ es igual al número de filas de a $B$) es una matriz cuyas $(i, j)$ componente es el producto escalar de la $i$-ésima fila de a $A$ e las $j$-ésima columna de a $B$.

Entre las muchas aplicaciones, tenga en cuenta este simple.

Usted tiene estudiantes $s_{1}, \dots, s_{n}$ tomando cursos de $c_{1}, \dots, c_{m}$. Considere la matriz $A$ ha $0$ todas partes, salvo que el $(i,j)$ coeficiente de es $1$ si el estudiante $s_{j}$ toma el curso de $c_{i}$. Ahora tenga en cuenta que el producto escalar de la $i_{1}$-ésima fila de a $A$ $i_{2}$- ésima fila indica el número de alumnos que tardan tanto en$c_{i_{1}}$$c_{i_{2}}$. En otras palabras, la matriz de $A A^{t}$ tiene en su $(i, j)$ posición el número de estudiantes tanto en$c_{i}$$c_{j}$.

Esta matriz es, por supuesto, útil en la construcción de un supuesto de calendario.

Answer 5

La idea geométrica del producto escalar ha sido tocado, pero hay una gran generalización de este producto en el álgebra geométrica, el álgebra de que no solo se orienta a líneas (vectores), pero los planos, volúmenes y más (llamado cuchillas).

En álgebra geométrica, tenemos una generalizada producto escalar de un vector $a$ y otra cuchilla $B$ denotado $a \cdot B$. Este producto tiene una interpretación geométrica simple como la parte de $B$ ortogonal a la proyección de $a$, con una magnitud $|a||B|| \cos \theta|$ donde $\theta$ es el ángulo de $a$ formas con su proyección en $B$.

(Nota: como un punto de hecho, $a \cdot B$ es ortogonal a $a$ también, no sólo su proyección en $B$, pero pensando en esto conduce a algunas dificultades, mientras que el pensamiento acerca de lo que es perpendicular a la proyección no).

Si $B$ es un 2-cuchilla (también llamado un bivector), entonces usted debería ser capaz de imaginar esto directamente: si $a$ se encuentra en su totalidad en $B$, $a \cdot B$ es sólo el vector perpendicular a $a$$B$. Si $a$ no reside enteramente en $B$, entonces se puede descomponer en una tangencial parte y una parte normal. Nos tiramos la parte normal, y la anterior lógica se aplica para la tangencial parte.

Si $B$ es un 3-blade (un trivector), luego en el espacio 3d $a$ debe estar en $B$ (para el que no hay volumen 3d que un vector no ayuda span), y el producto $a \cdot B$ es la "Hodge dual", o el plano perpendicular a $a$.

En esta luz, el producto escalar de los vectores puede ser en realidad la mayoría de los no-intuitivo parte de este razonamiento. Cuando usted toma el producto escalar, sólo hay un escalar a la izquierda-no hay vector u otra de las dimensiones superiores de la izquierda de objeto a ser ortogonal a $a$. De nuevo, esto es por qué hago hincapié en que $a \cdot B$ es la parte de la $B$ ortogonal a la proyección de $a$ a $B$. Al $B$ es un vector, es claro que no hay otro vector o cualquier otra cosa que puede ser ortogonal a la proyección de $a$ $B$ y la proyección son paralelas, por lo que el resultado es necesariamente sólo un escalar.