¿Qué aplicaciones tiene la teoría de Teichmüller?

Question

Estoy intentando recopilar algunos ejemplos concretos de aplicaciones de la Teoría de Teichmüller. Aquí están algunas cosas que he recogido hasta ahora:

1. Teorema del dominio no errante (Sullivan)
2. Teoremas de Thurston (Clasificación de homeomorfismos de superficies, caracterización topológica de mapas racionales, teoremas de hiperbolización para 3 variedades especiales)
3. Infografía. (Utilización de las distintas métricas de los espacios de Teichmüller como sustituto de la métrica de Gromov-Hausdorff).
4. Teoría de cuerdas (como las partículas elementales se modelan mediante bucles, generan una superficie de Riemann a medida que se desplazan en el tiempo).
5. Algunas aplicaciones a la biología (Morfometría cerebral)

Nota: Estoy seguro de que esto es sólo una pequeña parte de lo que hay, y pienso seguir actualizando esta lista.

Answer 1

Algunas aplicaciones importantes de la teoría de Teichmuller son a la topología tridimensional (me refiero al trabajo de Thurston, y al desarrollo posterior de este trabajo), y a la dinámica holomórfica. Sobre esto me remito a los libros de Thurston y de Hubbard, y en el artículo de Douady y Hubbard A proof of Thurston's topological characterization of rational functions, MR1251582, pero esto ya se mencionó en la pregunta original. En realidad, desde los trabajos de Sullivan, Douady y Hubbard, la teoría de Teichmuller es una de las principales herramientas de la dinámica holomórfica.

También hay aplicaciones a la teoría de cuerdas, y espero que algún teórico de cuerdas escriba sobre ellas. Pero aquí tenemos un bonito ejemplo, en el que los teóricos de cuerdas hicieron una conjetura matemática pura, y se demostró utilizando la teoría de Teichmuller: MR0882831 Zograf, P. G.; Takhtajan, L. A. Sobre la ecuación de Liouville, los parámetros accesorios y la geometría del espacio de Teichmüller para superficies de Riemann de género 0.

Answer 2

http://www.cacs.louisiana.edu/~mjin/ Vi una charla de Miao Jin en la que utilizaba la teoría de Teichmüller y los flujos de Ricci para almacenar y analizar mejor los datos de colonoscopia. Creo que su asesor en Stony Brook creó una empresa que se dedica a ello.