¿Qué aplicaciones tiene la teoría de Teichmüller?

Question

Estoy intentando recopilar algunos ejemplos concretos de aplicaciones de la Teoría de Teichmüller. Aquí están algunas cosas que he recogido hasta ahora:

1. Teorema del dominio no errante (Sullivan)
2. Teoremas de Thurston (Clasificación de homeomorfismos de superficies, caracterización topológica de mapas racionales, teoremas de hiperbolización para 3 variedades especiales)
3. Infografía. (Utilización de las distintas métricas de los espacios de Teichmüller como sustituto de la métrica de Gromov-Hausdorff).
4. Teoría de cuerdas (como las partículas elementales se modelan mediante bucles, generan una superficie de Riemann a medida que se desplazan en el tiempo).
5. Algunas aplicaciones a la biología (Morfometría cerebral)

Nota: Estoy seguro de que esto es sólo una pequeña parte de lo que hay, y pienso seguir actualizando esta lista.

Answer 1

Aunque ya se han mencionado las aplicaciones al trabajo de Thurston sobre los 3-manifolds y la incrustación de Bers, pensé que merecía la pena mencionar la de Bers teorema de uniformización simultánea (incrustación subyacente de Bers), lo que implica que para cualesquiera dos puntos en el espacio de Teichmuller, existe un único (marcado) quasifuchsiano tal que las dos estructuras conformes en el dominio de discontinuidad realizan ambas superficies de Riemann simultáneamente. Este resultado fue generalizado por Ahlfors, Bers y Sullivan, que demostraron de forma más general que el espacio de grupos kleinianos geométricamente finitos está parametrizado por los espacios de Teichmuller de las estructuras conformes en el dominio de discontinuidad. Éste es el punto de partida para la clasificación de los grupos kleinianos (y el trabajo de Thurston sobre la geometrización de los 3manifolds de Haken).

En relación con esto está la parametrización de una estructura proyectiva compleja sobre una superficie mediante una estructura conforme y una diferencial cuadrática holomorfa de modo que las estructuras proyectivas están en biyección con el espacio cotangente al espacio de Teichmuller.

A resultado relacionado de Bers dio la clasificación de Thurston de clases de mapeo de superficies en pseudo-Anosov, reducible, o de orden finito, minimizando la longitud de traslación de una clase de mapeo en el espacio de Teichmuller.

El espacio de Teichmuller también se ha utilizado como ingrediente en la construcción de varias representaciones (proyectivas) de grupos de clases cartográficas, en particular de Andersen basado en la conexión Hitchin (haciendo realidad las ideas de Witten).

En otra dirección, Labourie y Loftin descubrió que las estructuras proyectivas convexas sobre una superficie están parametrizadas por una estructura conforme junto con una diferencial cúbica, por lo que pueden considerarse como un haz sobre el espacio de Teichmuller.

Answer 2

Desde la perspectiva de la geometría algebraica, la teoría de Teichmüller es una aproximación analítica a los espacios de moduli de las curvas. Para simplificar las cosas $g\geqq 2$ sea un número entero y consideremos el espacio de moduli $\mathscr{M}_g$ de curvas algebraicas suaves y completas de género $g$ . Se trata de un objeto bastante complicado: una pila de Deligne-Mumford sobre los números enteros, nada fácil de describir de ningún modo. El "espacio" analítico complejo asociado $\mathscr{M}_g(\mathbf{C})$ sigue siendo algo con una estructura extraña: un orbifold complejo que no es una manifold. Pero su espacio de cobertura universal, que puede identificarse con el espacio de Teichmüller $\mathscr{T}_g$ es una verdadera variedad compleja. Tiene varias propiedades interesantes en comparación con $\mathscr{M}_g$ :

• El espacio de Teichmüller es biholomorfo a un dominio abierto en $\mathbf{C}^{3g-3}$ . Esto es Teorema de incrustación de Bers .
• El espacio de Teichmüller es difeomorfo (olvidando la estructura compleja) a $\mathbf{R}^{6g-6}$ y existe un sistema de coordenadas muy intuitivo, llamado Coordenadas Fenchel-Nielsen realizando dicho difeomorfismo. Por otra parte, incluso cuando se olvida la estructura de la pila, $\mathscr{M}_g$ es una variedad de tipo general para $g\geqq 23$ lo que significa que sólo se puede incrustar en el espacio proyectivo $\mathbf{P}^d$ donde $d$ es "mucho" mayor que la dimensión de $\mathscr{M}_g$ y se necesitan "muchas" ecuaciones para recortar su imagen. Así que no existe un sistema de coordenadas algebraico "económico" en $\mathscr{M}_g$ en general.
• Geodésicas complejas en $\mathscr{T}_g$ para una métrica natural, la métrica de Teichmüller, dan familias de curvas algebraicas que tienen una descripción geométrica agradable e intuitiva, llamada Discos de Teichmüller . En bastantes casos descienden a curvas definidas algebraicamente en $\mathscr{M}_g$ que, en consecuencia, se denominan Curvas de Teichmüller . Se puede decir mucho más sobre sus propiedades geométricas y numéricas que sobre las curvas generales en $\mathscr{M}_g$ . Constituyen un activo campo de investigación en estos años.

Otra aplicación de la teoría de Teichmüller a los espacios de moduli de curvas es que da lugar a un isomorfismo entre el grupo de clases de mapas $\Gamma_g$ de una superficie orientada cerrada de género $g$ y el grupo fundamental (orbifold) del espacio de moduli $\mathscr{M}_g(\mathbf{C})$ por lo que proporciona un vínculo entre la topología de los espacios de moduli y la topología de las superficies.

Answer 3

Solución del El problema de la realización de Nielsen .

Answer 4

La demostración de la conjetura de Mumford por Madsen y Weiss hizo un uso esencial de la teoría de Teichmüller. Esto resulta especialmente claro si se afirma que la conjetura se refiere a la cohomología del espacio $\mathfrak{M}_g$ espacio de moduli de Riemann de género $g$ curvas complejas. La definición de este espacio no requiere la teoría de Teichmueller, puede hacerse de forma puramente algebro-geométrica.

El primer paso es que $H_{\ast} (\mathfrak{M}_g;\mathbb{Q})$ es igual a la homología racional del grupo de clases cartográficas $\Gamma_g$ . Esto utiliza el teorema de Teichm\"ullers de que el espacio de Teichm\"ullers $\mathcal{T}_g$ es homeomorfo a un espacio euclídeo (bastaría con que fuera un colector contráctil).

El segundo paso es que $B \Gamma_g$ es homotópicamente equivalente a $B Diff (\Sigma_g)$ el espacio clasificador del grupo de difeomorfismos. Este es un resultado de Earle y Eells, que utiliza también el teorema de Teichm\"ullers, aunque no tan esencialmente, porque también hay una demostración puramente topológica de este resultado.

El teorema de Madsen-Weiss calcula entonces la homología de $B Diff (\Sigma_g)$ en un rango de grados; esto es topología diferencial/teoría de la homotopía y no está relacionado con la teoría de Teichmüller.

Resultados más antiguos sobre la homología de $\mathfrak{M}_g$ (o la compactación de Deligne-Mumford) también se basan muy a menudo en el paso 1. Algunos nombres relevantes son Harer, Harer-Zagier, Arbarello-Cornalba- y otros.

Answer 5

La dinámica del flujo geodésico de Teichmuller en los espacios de moduli de diferenciales abelianas sobre superficies de Riemann proporciona una "dinámica de renormalización" natural para sistemas dinámicos más sencillos de tipo parabólico, como las transformaciones de intercambio de intervalos y los billares en polígonos racionales. Un estudio muy interesante que explica esta fascinante interacción entre la teoría de Teichmuller y los sistemas dinámicos es "Flat surfaces" de A. Zorich (ver este enlace aquí http://arxiv.org/abs/math/0609392 ).

Más concretamente, este enfoque de "dinámica de renormalización" ha sido aplicado recientemente con éxito por V. Delecroix, P. Hubert y S. Lelievre (véase aquí http://arxiv.org/abs/1107.1810 ) para explicar una conjetura de los físicos Hardy y Weber sobre la "velocidad de difusión" anormal de las trayectorias típicas en realizaciones típicas del llamado modelo de árbol de viento de Ehrenfest de los gases de Lorenz. Asimismo, las ideas procedentes del estudio del flujo geodésico de Teichmuller fueron fuente de inspiración para A. Kappes y M. Moller en su clasificación de todos los cocientes de bolas conocidos actualmente (véase aquí http://arxiv.org/abs/1207.5433 ).