¿Por qué el cambio en la energía interna siempre utiliza la fórmula con Cv en lo que respecta a los cambios de presión/volumen/temperatura en un gas?

Question

Normalmente asociaría el uso de $C_v$ con encontrar la energía que entra o sale de un sistema cuando el volumen se mantiene constante. Sin embargo, la fórmula para hallar $\triangle E_i$ (cambio en la energía interna) es $nC_v \triangle T$ . Por qué $C_v$ ? Además, ¿se aplica esto a casi todo? ¿O existen limitaciones?

Answer 1

Racionalizo el uso de $C_V$ para encontrar $\Delta U$ de gases ideales de esta manera:

La energía interna es la medida de la energía cinética a nivel microscópico. Es decir, la velocidad media de todas las partículas individuales que componen un sistema.

En los sistemas ideales, el volumen del recipiente que compone el sistema no influye en la energía cinética media de las partículas. Piénsalo, un sistema de gran volumen seguiría conteniendo las mismas moléculas con las mismas energías de traslación, vibración y rotación que un sistema de pequeño tamaño.

Lo ideal es importante, ya que si el sistema no lo fuera, las interacciones entre moléculas a través de fuerzas de atracción y colisiones tendrían efectos diferentes en función del volumen del recipiente.

En el caso de los gases reales, en un recipiente grande habría mucho más espacio entre las partículas y, por tanto, menos interacción entre ellas. Y para un recipiente pequeño, las partículas estarán mucho más cerca y la tasa de colisión será mayor.

En general, para los gases reales, podemos decir que no es cierto que la energía interna sea independiente del volumen, pero lo contrario es cierto para los gases ideales. Así, para cualquier ideal gas, $C_V dT=dU$ .

Answer 2

Si mantienes el volumen constante entonces el gas no puede hacer ningún trabajo como $\delta W = P \Delta V = 0$ por lo que a partir de la primera ley de la termodinámica el cambio en la energía interna

$\Delta U = \delta Q - \delta W \Rightarrow \Delta U = \delta Q = n c_v \Delta T$

Answer 3

Llamamos $C_v$ la capacidad calorífica a volumen constante porque es así como puede medirse experimentalmente, midiendo la cantidad de calor Q añadida en un ensayo a volumen constante y dividiendo por el cambio de temperatura. Pero, esta propiedad física que llamamos $C_v$ tiene un significado y una aplicabilidad más generales que eso. En particular, en general, $C_v=(\partial U/\partial T)_V$ . Para un gas ideal, U(T,V) es una función U(T) sólo de T, y no de V. Por lo tanto, la derivada parcial se convierte en una derivada total, y así, para un gas ideal, siempre tenemos $C_v=dU/dT$ independientemente de si el volumen está cambiando. Pero aún podemos medir Cv directamente midiendo la cantidad de calor Q añadido en un ensayo a volumen constante.

Answer 4

En primer lugar, para un proceso arbitrario, esta fórmula sólo se aplica al gas ideal. Para el caso especial de proceso de volumen constante, se aplica a todos los gases, por definición de $C_v$ .

Ahora la energía interna $U$ es una función de estado. Así que si conoces la temperatura en los estados inicial y final para un gas ideal, el cambio en $U$ queda así completamente determinada, independientemente del proceso por el que haya pasado el sistema entre medias.