He empezado de nuevo a aprender álgebra abstracta, usando el libro Álgebra abstracta: Un enfoque basado en la investigación . (Ya he empezado en el pasado con otro libro, así que no es la primera vez que veo algunas de estas cosas).
Me he topado con un obstáculo en una de las preguntas de demostración (llamadas "actividades" en este libro) del primer capítulo, que parece requerir más supuestos/axiomas para su demostración de los que se han proporcionado.
Quiero asegurarme de si realmente necesito los axiomas adicionales o si es posible completar la demostración sin ellos.
En el libro, los números enteros se definen primero apelando al conocimiento común:
El conjunto de números enteros, denotado $\mathbb{Z}$ contiene los números enteros y sus opuestos (o negativos); es decir $\mathbb{Z} = \{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$
Y a continuación lo siguiente axiomas aritméticos están en la lista:
- Cierre de números enteros por adición y multiplicación
- Conmutatividad de la suma y la multiplicación
- Asociatividad de la suma y la multiplicación
- Distributividad de la multiplicación sobre la suma
- El número entero $0$ es una identidad aditiva
- El número entero $1$ es una identidad multiplicativa
- Cada número entero $a$ tiene un inverso aditivo.
(Es algo bastante estándar, no me he molestado en escribir las afirmaciones exactas anteriores).
Y un poco más tarde 1 El axiomas de ordenación ( $a$ , $b$ y $c$ representan números enteros arbitrarios):
- Tricotomía: Exactamente una de $a < b, b < a, a = b$ es cierto.
- Transitividad: $a < b$ y $b < c \implies a < c$
- Invariancia traslacional: Si $a < b$ entonces $a + c < b + c$
- Escala: Si $a < b$ y $c > 0$ entonces $a c < b c$ .
La actividad con la que tengo problemas es la del contorno rojo: 
Básicamente tiene que demostrar que $1$ y $-1$ son los únicos unidades en $\mathbb{Z}$ (números que tienen inversos multiplicativos).
Hasta ahora, tampoco el axioma:
$0 \neq 1$
en el libro (aunque me doy cuenta de que lo asumen implícitamente), ni la
principio de buen orden
(todo subconjunto no vacío de los enteros acotados a continuación tiene un elemento más pequeño).
Sólo quiero comprobar si lo que he entendido es correcto: para dar una demostración rigurosa de (c), necesito suponer esos dos axiomas.
En particular, $0 \neq 1$ me permite demostrar (utilizando los otros axiomas) que 2 $0 < 1$ y demostrar la inexistencia de una supuesta unidad $a$ mayor que cero 3 que no sean $1$ necesito demostrar que $a$ o su inverso multiplicativo está entre $0$ y $1$ pero no hay números enteros entre $0$ y $1$ - para demostrar lo cual necesito la propiedad de buen orden - lo que significa $a$ no puede existir.
1: Todo ello intercalado con varias "actividades", que es la versión de los ejercicios del "enfoque basado en la investigación".
2: No he pensado si saber $0 < 1$ es necesario para terminar la prueba, pero creo que necesito $0$ y $1$ ser distintos.
3: Esto es "sin pérdida de generalidad" porque si $a$ es un unidad así es $-a$ .
