Combinaciones - ¿Cuántas posibilidades de elegir 12 personas tales que..

Question

Hay 20 personas. 16 hombres y 4 mujeres. ¿Cuántas posibilidades hay para la lista de 12 personas (= cada persona tiene un numerado lugar) de forma que todas las mujeres deben figurar en la lista.

Mi pensamiento:
"Prometeremos" plazas primero para las mujeres. Y las hay, $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {12} \\ 4 \\ \end{array}} \right)$ posibilidades para colocarlos.

Después, hay $16$ hombres, sino sólo $8$ plazas que faltan para completar la lista. Así que..,

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {16} \\ 8 \\ \end{array}} \right)$ posibilidades para elegir y colocarlos.

En total, tenemos $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {12} \\ 4 \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {16} \\ 8 \\ \end{array}} \right)$ posibilidades.

¿Es eso cierto?

Answer 1

No; se eligen puestos para las mujeres pero hay $4!$ formas de permutarlos. Del mismo modo para los hombres, tú los eliges pero aún puedes permutarlos. Tu respuesta es correcta si multiplicas por $4! \times 8!$ .

Answer 2

No es del todo correcto, ya que dices que el lugar en la lista está numerado. Aquí utilizas combinaciones, que no tienen en cuenta el orden. Esta es la forma en que yo lo haría:

Primer paso: Elige a las 12 personas que entrarán en la lista. Las 4 mujeres deben entrar, así que elegimos 8 hombres ( $C(16,8)$ opciones) para dar nuestra selección de 12 personas.

Segundo paso: Ordena las 12 personas de la lista. Se trata de una permutación del conjunto de 12 personas, lo que da $12!$ pedidos.

Por lo tanto, el número de ordenaciones en las que las 4 mujeres están en la lista viene dado por $C(16,8) \cdot 12!$