$f(x)=(x^2,x^3)$ no una inmersión sino $Df$ ¿uno a uno?

Question

Sea $f:\mathbb R\to\mathbb R^2$ con $f(x)=(x^2,x^3)$ . Entonces $f$ no es una inmersión ya que $rank Df\neq1$ para $x=0$ .

Nuestro profesor nos dijo que esto equivale a que $Df$ es uno a uno. ¿Qué significa esto? Claramente $Df(x)=Df(y)\iff x=y$ ¿cuál es el problema?

Answer 1

Por definición, una función $f:\mathbb{R}^{m}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ es una inmersión si y sólo si, para cada $x\in\mathbb{R}^{m}$ el diferencial $Df(x)$ es una transformación lineal inyectiva. Esto es completamente diferente a decir que la función $Df$ es inyectiva. En su caso para $x=0\in\mathbb{R}^{1}$ tenemos $Df(0)$ la transformación de cero entre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^{2}$ Así que $f$ no es una inmersión.