La realidad es así: $\mathcal{O}_{\mathbb{P}_\mathbb{R}^1}(1)$ y $\mathcal{O}_{\mathbb{P}_\mathbb{R}^1}(-1)$ ¿son ambas tiras de Möbius?

Question

Esta pregunta es la continuación de esta pregunta anterior que tiene una respuesta aceptada que me cuesta creer. (Edición: la respuesta ya ha sido corregida; ¡gracias Georges!)

He estado trabajando en darme una comprensión lo más concreta posible de la gavilla retorcida de Serre $\mathcal{O}(1)$ . Mi referencia es Hartshorne, cap. 2, sección 5.

En la cara, $\mathcal{O}(1),\mathcal{O}(-1)$ son gavillas invertibles; sé que es estándar verlas como haces de líneas algebraicas. En el caso $X=\mathbb{P}_\mathbb{R}^1$ (visto como un esquema), me interesa visualizar estos haces de líneas.

Antecedentes: Estoy usando la definición de haz vectorial algebraico en Hartshorne ch. 2 sec. 5 ejercicio 18 en la p. 128: un esquema $Y$ , un morfismo $f:Y\rightarrow X$ y una tapa abierta $\{U_i\}$ de $X$ tal que para cada $U_i$ , $f^{-1}(U_i)$ es isomorfo a $\mathbb{A}_{U_i}^n$ para algunos fijos $n$ y los isomorfismos $\psi_i:f^{-1}(U_i)\rightarrow\mathbb{A}_{U_i}^n$ satisfacen la propiedad de que para cada par $i,j$ y para cada afín abierto $V\subset U_i\cap U_j$ la composición convenientemente restringida $\psi_j\circ\psi_i^{-1}$ es un lineal automorfismo de $\mathbb{A}_V^n$ .

Para fijar la notación, dejemos que $Y,Z$ sea una línea algebraica ( $n=1$ ) se agrupa sobre $X=\mathbb{P}_\mathbb{R}^1$ tal que las gavillas de secciones $\mathscr{S}(Y/X)=\mathcal{O}_X(1)$ y $\mathscr{S}(Z/X)=\mathcal{O}_X(-1)$ .

Después de una buena cantidad de trabajo, he llegado a creer que podemos obtener $Y,Z$ explícitamente como sigue:

Dejemos que $U_1=\operatorname{Spec} \mathbb{R}[x,y]$ y que $U_2=\operatorname{Spec} \mathbb{R}[x',y']$ e identificar $U_1\setminus \{x=0\} = \operatorname{Spec} \mathbb{R}[x,x^{-1},y]$ con $U_2\setminus \{x'=0\} = \operatorname{Spec}\mathbb{R}[x',x'^{-1},y']$ mediante el isomorfismo de esquema inducido a partir del isomorfismo de anillo $x'\mapsto x^{-1}$ , $y'\mapsto x^{-1}y$ . Dejemos que $Y$ sea el cociente de la unión disjunta $U_1\cup U_2$ por esta identificación. Sea el morfismo de proyección $f:Y\rightarrow X$ se da por proyección a la $x$ -eje encendido $U_1$ y al $x'$ -eje encendido $U_2$ . (En términos teóricos, la proyección $U_1\rightarrow \mathbb{A}^1$ es el morfismo procedente de la inclusión en el anillo $\mathbb{R}[x]\hookrightarrow \mathbb{R}[x,y]$ y de forma similar para $U_2$ .)

Obtenemos $Z$ a partir de la misma construcción, excepto el isomorfismo de $U_1\setminus\{x=0\}$ con $U_2\setminus \{x'=0\}$ viene dada por $x'\mapsto x^{-1}, y'\mapsto xy$ esta vez.

Mi pregunta inicial:

¿Está de acuerdo con estas construcciones?

Como comprobación de plausibilidad, sabemos que $\mathcal{O}_X(1)$ tiene un espacio vectorial bidimensional de secciones globales; éstas deben corresponder a secciones de $Y/X$ . Creo que obtenemos una base de secciones de la sección $u$ que parece $y=1$ en $U_1$ y $y'=x'$ en $U_2$ y la sección $v$ que parece $y'=1$ en $U_2$ y $y=x$ en $U_1$ . Por otro lado, sabemos que $\mathcal{O}_X(-1)$ no tiene secciones globales no nulas; esto resulta del hecho de que si una sección se parece a $y'=g(x')$ en $U_2$ (para $g$ algún polinomio no nulo) debería ser como $y = x^{-1}g(x^{-1})$ en $U_1$ pero esto no puede ser regular en $x=0$ .

Mi pregunta principal:

$Y, Z$ no son colectores porque son esquemas, pero podemos copiar su construcción con copias del colector liso $\mathbb{R}^2$ en lugar del esquema $\mathbb{A}_\mathbb{R}^2$ me parece que esto nos dará verdaderos paquetes de vectores sobre $S^1$ que son ambos difeomorfos a la banda de Möbius (sin límite) y me gustaría saber si estás de acuerdo. Para ser explícito sobre la construcción:

Dejemos que $U_1=\mathbb{R}^2$ con funciones de coordenadas $x,y$ . Dejemos que $U_2=\mathbb{R}^2$ con funciones de coordenadas $x',y'$ . Identificar $U_1\setminus \{x=0\}$ con $U_2\setminus\{x'=0\}$ por $(x',y')\sim (x^{-1},x^{-1}y)$ . El resultado es una variedad suave porque esta identificación da funciones de transición suaves entre los dos parches de coordenadas. Restringiendo la construcción a la $x$ y $x'$ -ejes da $\mathbb{R}P^1\cong S^1$ . Además, para los casos de $x$ la función de transición $y'=x^{-1}y$ es lineal en $y$ me parece que esto implica que el resultado es un haz de líneas sobre $S^1$ . Que esto sea $\mathbf{Y}$ .

Crear $\mathbf{Z}$ de la misma manera, pero utilizando $(x',y')\sim (x^{-1},xy)$ .

Si realmente son haces de líneas reales, entonces ambos tienen que ser bandas de Möbius porque ese es el único haz de líneas reales no triviales sobre $S^1$ .

¿Es correcto mi pensamiento de que estas construcciones dan lugar a haces de líneas reales?

Gracias de antemano.

Answer 1

Dejando una respuesta en la wiki de la comunidad para eliminar esto de la lista de no contestados (una vez que alguien lo vote): Sí, esto es cierto. Georges Elencwacj editó su respuesta en otra pregunta para abordar éste.