Elevación autoadjunta del idempotente en el cociente

Question

Sea $A$ ser un $C^*$ -y $I\subseteq A$ un ideal cerrado. Sea $a\in A$ sea tal que $a^2-a\in I$ .

Pregunta: ¿Se puede construir un elemento $b\in A$ en términos de $a$ tal que $b$ es una elevación autoadjunta de $[a]$ ?

Observación: Por ascensor me refiero a $[b]=[a]\in A/I$ .

Answer 1

Si $a\in A$ es tal que $[a]$ es autoadjunto, entonces $b=\frac{a+a^*}{2}$ es autoadjunto y cumple $[b]=\frac{[a]+[a]^*}{2}=[a]$ . A la inversa, si tal $b$ existe, entonces claramente $[a]=[b]$ debe ser autoadjunto. Así que suponiendo que $[a]$ es idempotente no es relevante; en cambio, tal $b$ existe si $[a]$ es autoadjunto.