Convergencia de un producto infinito de un cociente de un número irracional y su expansión decimal

Question

Hice algunas exploraciones con Mathematica sobre productos infinitos de cocientes de límites de sumas y sus cocientes con sumas parciales crecientes. No descubrí gran cosa, pero me gustaría preguntar lo siguiente:

Supongamos que $r \in \mathbb R^+ \setminus \mathbb Q$ (sólo para simplificar quiero suponer que $r$ es positivo). Sea su expansión decimal $a_0.a_1 a_2 a_3\dots$ .

Si construimos un producto infinito $\prod_{i=0}^\infty r/a_0.a_1\dots a_i = r/a_0 * r/(a_0.a_1)*r/(a_0.a_1 a_2)\dots$ .

¿Este producto converge siempre?

Es evidente que el $i$ es siempre mayor que $1$ y converge a $1$ comme $i \rightarrow \infty$ . Así $i$ es de la forma $1+q_i$ , $q_i>0$ . Por tanto, este producto converge si $\sum_{i=0}^\infty q_i$ converge. ¿Ah, sí?

Si converge para algún $r$ ¿es el producto anterior siempre irracional?

Answer 1

Llame a $t_i = r - a_0.a_1 \ldots a_i$ (la "cola que falta"). Entonces su $q_i$ es justo: $$ \begin{align*} q_i &= \frac{r}{r - t_i} - 1 \\ &= \frac{t_i}{r - t_i} \\ &< \frac{10^{-i}}{r - a_0} \end{align*} $$ Así que el $q$ -series converge, y su producto también. Me temo que nadie sabe a qué.