¿Cómo puedo mejorar mi enfoque de la resolución de integrales para que ésta y otras similares en el futuro sean correctas?

Question

$$\int \sqrt{ 8 (\cos t \sin t)^2 } dt = \sqrt{2} \int 2\sin t\cos t dt = \sqrt{2} (\sin t)^2 + C$$

Lo cual me parece correcto, pero si tomo la integral definida de $0$ a $\pi$ entonces:

$$\sqrt{2} \left( (\sin \pi)^2 - (\sin 0)^2 \right) = \sqrt{2} ( 0 - 0 ) = 0$$

Pero mi manual de soluciones dice $2 \sqrt{2}$ y wolframalpha también da esa respuesta.

Answer 1

$\LARGE \int \sqrt{8(\cos t \sin t)^2} dt$

$\LARGE\sqrt 2\int \sqrt{(2 \sin t \cos t)^2} dt$

$\LARGE \sqrt 2 \int \sqrt{(\sin 2t)^2} dt$

$\LARGE \sqrt 2 \int |\sin 2t| dt$

Aquí si se observa, $\Large \sin 2t$ es más rápido o tiene más frecuencia que $\Large \sin t$ así que para cuando $\Large \sin t$ ha recorrido medio grafo, $\Large \sin 2t$ ha recorrido el gráfico completo, lo que implica que $\Large \sin 2t $ tiene un período de $\Large \pi$ (la mitad que la de $\sin t$ ), por lo que si se integra $\Large \sin 2t$ durante un periodo de $\Large0$ a $\Large \pi$ obtendrá una respuesta tan nula como el área entre el eje X y el eje $\Large \sin 2t$ gráfico por debajo del eje X anula el área por encima del eje X situada entre el eje X y el $\Large \sin 2t$ gráfico. Entonces, integras la función sobre medio período y luego multiplicar el valor por $\color{red}{two}$ .

$\LARGE \sqrt 2 . \color{red}{2} \int^{\pi/2}_0 \sin 2t dt$

$\LARGE \sqrt 2 (- \cos \pi - \cos 0)$

$\LARGE2 . \sqrt 2$

Espero que esto ayude, de todas formas consúltalo con alguien.

Answer 2

Algunos gráficos para contemplar: ${}{}{}$