El cálculo de los autovalores de una matriz

Question

Cómo encontrar los valores propios de $$\begin{bmatrix} 0 & 1 & & &\\ k & 0 & 2 & &\\ & k-1 & 0 & 3 &\\ & &\ddots&\ddots&\ddots\\ & & &2 & 0 &k \\ & & & & 1 &0 \end{bmatrix}$$
He intentado ecuación de recurrencia, pero no a la hora de encontrar el polinomio característico. Cualquier sugerencia o solución son bienvenidos, gracias por su ayuda!

PS:Las partes que faltan son todos ceros.

Answer 1

Deje que su matriz se $A_{k+1}$ y deje $P_{k+1}$ $(k+1)\times(k+1)$ matriz $$ \begin{pmatrix}1&1\\&\ddots&\ddots\\&&\ddots&1\\ &&&1\end{pmatrix}. $$ A continuación, $P_{k+1}^{-1}A_{k+1}P_{k+1}=B_{k+1}:=\begin{pmatrix}-k&0\\ ke_1&A_k+I_k\end{pmatrix}$ donde $e_1=(1,0,0,\ldots,0)^T$ (usted puede verificar que el $A_{k+1}P_{k+1}=P_{k+1}B_{k+1}$). Por lo tanto, si $\sigma(\cdot)$ indica el espectro de una matriz, tenemos la relación de recurrencia $\sigma(A_{k+1})=\{-k\}\cup\left(1+\sigma(A_k)\right)$. Así, \begin{align*} \sigma(A_2)&=\{-1,1\},\\ \sigma(A_3)&=\{-2,0,2\},\\ \sigma(A_4)&=\{-3,-1,1,3\},\\ &\vdots\\ \sigma(A_{k+1})&=\{-k,\,-k+2,\,-k+4,\,\ldots,\,k-4,\,k-2,\,k\}. \end{align*}

Editar: puede haber un mejor y más revelador de la prueba. De WolframAlpha, algunos vectores propios de a $A_{k+1}$ se compone de firmados los coeficientes binomiales (ver los resultados para los casos de $k=2$, $k=3$, $k=4$ e $k=5$), por lo $A_{k+1}$ puede poseer algunas interesantes propiedades matemáticas que aún no se han descubierto.

Edit 2: resulta que esta matriz se llama un Kac matriz o un Clemente-Kac-Sylvester de la matriz, y que fue propuesta por Clemente (1959) como una matriz para fines de prueba. A ver una pregunta relacionada aquí.

Edit 3: de Acuerdo a Taussky y Todd (1991) (gracias a J. M. de la referencia), dos de primaria pruebas de que el resultado anterior había sido dada por Muir y Metzler (1933, 1960) y Mazza (1923). Muir y Metzler de la prueba es muy similar a la mía. En esencia, se dice que si $$ F_{k+1}=\begin{pmatrix}1&-1\\&\ddots&\ddots\\&&\ddots&-1\\ &&&1\end{pmatrix}, $$ a continuación,$F_{k+1}^{-1}A_{k+1}F_{k+1}=\begin{pmatrix}k&0\\ ke_1&A_k-I_k\end{pmatrix}$. En contraste, Mazza prueba esencialmente dice que si $$ G_{k+1}=\begin{pmatrix}1&0&-1\\&\ddots&\ddots&\ddots\\&&\ddots&\ddots&-1\\ &&&\ddots&0\\ &&&&1\end{pmatrix}, $$ entonces $G_{k+1}^{-1}A_{k+1}G_{k+1}= \left(\begin{array}{c|c} \begin{array}{cc}0&k\\ k&0\\ \end{array} &{\Large 0}_{2\times(n-2)}\\ \hline B_{k-1}&A_{k-1}\\ \end{array}\right)$ where $B_{k-1}=\begin{pmatrix}0&k-1\\ 0&0\\ \vdots&\vdots\\ 0&0\end{pmatrix}$.

Los vectores propios de a $A_{k+1}$ también están bien estudiados. Véase J. M. comentarios (gracias a J. M. de nuevo).