¿Cuál es la notación $\mathcal{A}_\infty$ para una gavilla de gradados $\mathcal{O}_X$ -¿Qué significan las álgebras?

Question

Hoy me encontré con la condición de Hartshorne $(\dagger)$ para gavillas cuasi coherentes de álgebras. Esto afirma que da un graded $\mathcal{O}_X$ -módulo $\mathcal{A}$ que tiene la estructura de un álgebra graduada

1. $\mathcal{A} = \oplus_{n\geq 0 }\mathcal{A}_n$ y $\mathcal{A}_0 = \mathcal{O}_X$
2. $\mathcal{A}_1$ es coherente como $\mathcal{O}_X$ -módulo
3. $\mathcal{A}_\infty$ genera $\mathcal{A}$ como $\mathcal{O}_X$ -módulo

¿Qué es la $\mathcal{A}_\infty$ ?

Answer 1

La definición que aparece en el post no concuerda con la condición de daga de Hartshorne en su libro "Algebraic Geometry". Aquí está lo que la suya se escribe como:

$X$ es un esquema noetheriano, $\mathcal{J}$ es una gavilla cuasi-coherente de $\mathcal{O}_X$ -que tiene la estructura de una gavilla de módulos graduales $\mathcal{O}_X$ -álgebras. Así, $\mathcal{J} \cong \bigoplus_{d\geq0} \mathcal{J}_d$ donde $\mathcal{J}_d$ es la parte homogénea de grado $d$ . Suponemos además que $\mathcal{J}_0=\mathcal{O}_X$ que $\mathcal{J}_1$ es coherente $\mathcal{O}_X$ -y que $\mathcal{J}$ es generado localmente por $\mathcal{J}_1$ como $\mathcal{O}_X$ -álgebra. (Se deduce que $\mathcal{J}_d$ es coherente para todo $d\geq 0$ .)

Esto es textualmente del texto (modulo declarando una letra curly script que no puedo descifrar que sea $\mathcal{J}$ ), véanse 2 párrafos después del ejemplo II.7.8.6, en la sección titulada "Proj, $\Bbb P(\mathcal{E})$ y Volar por los aires" (página 160 en mi versión).

Desafortunadamente, esto parece sugerir o bien un error tipográfico (aunque lo cerca $1$ y $\infty$ están en el teclado de uno, no estoy seguro) o un ligero cambio en la definición que se pasó por alto. Tal vez puedas intentar enviar un correo electrónico a la persona que aloja las notas.