Un equipo tiene un $40$ temporada de juegos, y la probabilidad de ganar cada juego es $65\%$ . ¿Cómo podría determinar la probabilidad de que el equipo no pierda partidos consecutivos durante el $40$ ¿temporada de juegos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Hagen von Eitzen
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Si pierden $k$ juegos, hay exactamente $41-k\choose k$ posibles secuencias de ganar-perder que eviten dos pérdidas consecutivas. Tenemos que ponderarlas con las probabilidades respectivas y sumarlas sobre $k$ (hasta un máximo de $20$ como más allá de que las pérdidas consecutivas son inevitables), es decir $$ \sum_{k=0}^{20}{41-k\choose k}\cdot 0.35^k\cdot 0.65^{40-k}.$$ Calculo $\approx 0.0177$ - por lo que es muy probable que incluso un equipo de alto rendimiento tenga una mala racha.
Silverfish
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545
Obtengo la misma respuesta que Hagen von Eitzen. Quiero explicar la fórmula que sale de las consideraciones combinatorias: ésta es la forma en que yo lo hice utilizando métodos de bachillerato, pero estoy seguro de que hay muchas más entre las que elegir, ¡algunas más concisas! He incluido mi método "furtivo" favorito como apéndice (no es mucho más difícil de entender, pero, según mi experiencia, a la gente le cuesta más "descubrirlo").
Está claro que los partidos perdedores deben separarse de alguna manera. Varias posibles condiciones necesarias y suficientes garantizarían esto, por ejemplo:
- A cada derrota le sigue una victoria, excepto quizás la derrota final (puede ser el partido 40)
- Cada derrota va precedida de una victoria, excepto quizás la primera derrota (puede ser el 1er partido)
Me quedo con la primera opción, pero la segunda funciona de forma similar. En $k-1$ Las derrotas no finales pueden emparejarse con la victoria siguiente y tratarse como una sola unidad. Tratar los otros juegos individuales como unidades individuales, tengo:
- $k-1$ unidades de dos partidos (LW) que contienen las derrotas anteriores y sus victorias posteriores (haciendo $2k-2$ partidos en total),
- 1 unidad de partido único (L) que contiene la derrota final,
- $40-(2k-2)-1=41-2k$ unidades de un solo partido (W) que contienen las victorias restantes (no emparejadas).
Pero $41-2k\ge 0$ sólo si $k \le 20.5$ y como el número de pérdidas es entero, puede haber como máximo veinte pérdidas antes de que las pérdidas consecutivas sean inevitables. Esto coincide con nuestra intuición.
Ahora tengo un total de $(k-1)+1+(41-2k)=41-k$ unidades, de tres tipos, que pueden aparecer en cualquier orden excepto por la restricción de que la pérdida final debe ocurrir después de todas las unidades LW. Esto parece complicado: ¡tengo tres tipos de unidades y una restricción sobre el orden en que pueden aparecer! Pero pensándolo bien, no necesito distinguir los dos tipos de unidades que contienen pérdidas. Sea cual sea la disposición de mis $k$ unidades que contienen pérdidas y mi $41-2k$ victorias no emparejadas, la última unidad que contiene la derrota es necesariamente "L" y las precedentes son "LW". Ahora vuelvo al territorio fácil de dos tipos de unidades, que pueden aparecer en cualquier orden.
Puedo elegir el $k$ puestos que deben cubrir las unidades con pérdidas de $41-k$ disponible, lo que da $41-k\choose k$ posibles secuencias de victorias y derrotas. O podría elegir la $41-2k$ posiciones a ocupar por las victorias no emparejadas, dando $41-k\choose 41-2k$ . Que es, por supuesto, ¡exactamente lo mismo!
La aplicación final de la probabilidad binomial da $$ \sum_{k=0}^{20}{41-k\choose k}\cdot 0.35^k\cdot 0.65^{40-k}=0.0176547...$$ a 6 cifras significativas.
ADDENDUM: Hay un método rápido pero furtivo del que me di cuenta que funcionaría, pero quise ceñirme al método de "emparejamiento" utilizado en los libros de texto introductorios (al menos en el plan de estudios de secundaria británico) y, por tanto, lo que enseño a mis alumnos. Esta alternativa la enseñé en mi primer trimestre en la universidad.
En $k$ pérdidas dividen la temporada en $k+1$ rachas ganadoras. La primera y la última racha de victorias pueden tener una duración de cero partidos (ya que el primer y/o el último partido de la temporada pueden ser derrotas), pero las demás rachas de victorias deben tener una duración positiva (para evitar derrotas consecutivas). Por desgracia, esto rompe la simetría, así que voy a añadir dos partidos falsos a la secuencia: una victoria en pretemporada y otra en postemporada. Ya te advertí que era engañoso. Ahora todas mis rachas de victorias tienen una duración positiva garantizada.
Después de esas adiciones tengo $42-k$ victorias, y quiere saber cómo subdividirlas en $k+1$ rachas ganadoras. En otras palabras, ¿cuántas formas hay de sumar $k+1$ números naturales y alcanzar la suma $42-k$ ? (Si esto le suena vagamente familiar puede que esté interesado en esta cuestión .) Me imagino mi $42-k$ gana teniendo separadores entre ellos: $$W | W | W | W | .... | W$$ ¿Cuántos separadores de este tipo hay? En problema del poste me dice que es uno menos que el número de victorias. Así que hay $41-k$ divisores, de los cuales $k$ van a estar ocupados por derrotas de racha. El número de formas en que esto se puede lograr es, por supuesto, $41-k \choose k$ .
Si no te gustan las dos falsas victorias, puedes visualizar una racha de $40-k$ gana con $k$ pérdidas capaces de ocupar posiciones divisorias entre victorias, o antes de la primera victoria, o después de la última: |W|W|...|W|. Las consideraciones de la valla muestran que hay $(40-k)+1=41-k$ ranuras posibles para el $k$ pérdidas a elegir. Esto es menos artificioso (¡no hay partidas falsas!), pero contar la duración de las rachas de victorias (quizás una de las formas más "obvias" de pensar en este problema) no funciona tan bien, ya que perdemos la bonita analogía con el conocido problema de "de cuántas maneras puede ". $a$ números naturales que sumen $b$ ".
